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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 29.01.2011 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien zwei Basen A und B im [mm] \IR^2.
[/mm]
Wie lautet die Matrix [mm] T=(t_{i,j}), [/mm] die den Basiswechsel von A nach B beschreibt. |
| Aufgabe 2 | Eine Abbildung [mm] \gamme \IR^2 \mapsto \IR^2 [/mm] werde hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die Matrix A
a) Wechen Vektor bildet [mm] \gamma [/mm] auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] ab?
b) In b) wird eine Transformationsmatrix gesucht, die den Basiswechsel von E nach B beschreibt. Da bin ich mir sicher...
c) Wie lautet die Matrix A* die der Abbildung [mm] \gamma [/mm] hinsichtlich der Basis B zugeordnet ist ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Gemeinde !
Kurz vor der Klausur habe ich noch ein paar schnelle Fragen zur Lösung einiger Aufgabentypen (s.o.). Ich vermute schon die richtigen Ansätze zu haben, würde mich aber gerne in Sicherheit wiegen, ein einfaches "Richtig" wäre mir am Liebsten ;)
Danke im Vorfeld
zu Aufgabe 1)
[mm] T=A^{-1} \* [/mm] B ?
zu Aufgabe 2)
a) Also bei jeder Abbildung [mm] \gamma [/mm] die hinsichtlich der kanonischen Basis durch eine Matrix A beschrieben, ist A ja sozusagen die Transformationsmatrix.
Lösungsvorschlag: [mm] \vektor{1 \\ -1}=A\*\vektor{x \\ y}
[/mm]
dann nach x,y im Gleichungssystem auflösen ?
c) (info: Aus Aufgabenteil b) wird T und B erhalten)
A* [mm] =T^{-1}\*B\*T [/mm] ?
Hier habe ich die größte Verunsicherung, da ich nicht weiß, ob [mm] T^{-1} [/mm] und T nicht vertauscht werden müssen
EDIT:
Nochmal eine Frage zum Schluss nach ein paar Überlegungen:
Also man hat die kanonische Basis E und eine Matrix A:
-Für eine Abbildung, die durch A beschrieben wird, ist die Transformationsmatrix T=A, da die Basis, die gleiche bleibt, der Vektor halt nur anders abgebildet (zB verschoben) wird
-Für einen Basiswechsel von E nach A ist die Transformationsmatrix T= [mm] A^{-1} [/mm] , da der zu transformierende Vektor sich auf die neue BAsis bezieht ?
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> Gegeben seien zwei Basen A und B im [mm]\IR^2.[/mm]
> Wie lautet die Matrix [mm]T=(t_{i,j}),[/mm] die den Basiswechsel
> von A nach B beschreibt.
>
>
>
> Eine Abbildung [mm]\gamme \IR^2 \mapsto \IR^2[/mm] werde
> hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die
> Matrix A
>
> a) Wechen Vektor bildet [mm]\gamma[/mm] auf den Vektor [mm]\vektor{1 \\
-1}[/mm]
> ab?
>
> b) In b) wird eine Transformationsmatrix gesucht, die den
> Basiswechsel von E nach B beschreibt. Da bin ich mir
> sicher...
>
> c) Wie lautet die Matrix A* die der Abbildung [mm]\gamma[/mm]
> hinsichtlich der Basis B zugeordnet ist ?
>
Hallo,
>
> zu Aufgabe 1)
>
> [mm]T=A^{-1} \*[/mm] B ?
Wenn A und B das sind, was ich mir zusammenreime, nämlich die Matrizen, in denen die Basisvektoren von A und B in den Spalten stehen, dann hast Du hier die Transformationsmatrix für den Wechsel von B nach A angegeben.
>
> zu Aufgabe 2)
>
> a) Also bei jeder Abbildung [mm]\gamma[/mm] die hinsichtlich der
> kanonischen Basis durch eine Matrix A beschrieben, ist A
> ja sozusagen die Transformationsmatrix.
???
Nein. Es ist die Darstellungsmatrix von [mm] \gamma [/mm] bzgl der kanonischen Basis [mm] E_2.
[/mm]
>
> Lösungsvorschlag: [mm]\vektor{1 \\
-1}=A\*\vektor{x \\
y}[/mm]
>
> dann nach x,y im Gleichungssystem auflösen ?
Ja, so kannst Du das machen.
Vielleicht gibt es eine Lösung, und vielleicht nicht.
>
>
> c) (info: Aus Aufgabenteil b) wird T und B erhalten)
Ich weiß gar nicht, was Du hiermit meinst.
Mit Deinen Bezeichnungen aus Aufg. 1) ist [mm] T=B^{-1}.
[/mm]
>
> A* [mm]=T^{-1}\*B\*T[/mm] ?
>
> Hier habe ich die größte Verunsicherung, da ich nicht
> weiß, ob [mm]T^{-1}[/mm] und T nicht vertauscht werden müssen
Vor allem weiß ich nicht, was das B in der Mitte soll.
Da muß auf jeden Fall A hin, die darstellende Matrix von [mm] \gamma [/mm] bzgl der kanonischen Basis [mm] E_2. [/mm] Und dann vorne und hinten die passenden Transformationsmatrizen dran:
Hinten die Matrix, die Vektoren, die in Koordinaten bzgl B in solche bzgl [mm] E_2 [/mm] umwandelt, also [mm] T^{-1} [/mm] aus Aufg. b), vorne die Matrix, die das Umgekehrte tut, also T.
Die Art Deines Posts ist nicht so günstig, weil man nicht sieht, was Du machst und manchmal auch nicht so genau weiß, was Du meinst.
Hättest Du mal eine Beispielaufgabe mit konkreten Angaben vorgerechnet, wäre das sicher sinnvoller gewesen, und die Gefahr, daß Du falsch verstanden wirst, kleiner.
Auch hättest Du sicher schneller Antwort bekommen.
> EDIT:
> Nochmal eine Frage zum Schluss nach ein paar
> Überlegungen:
> Also man hat die kanonische Basis E und eine Matrix A:
>
> -Für eine Abbildung, die durch A beschrieben wird, ist die
> Transformationsmatrix T=A, da die Basis, die gleiche
> bleibt, der Vektor halt nur anders abgebildet (zB
> verschoben) wird
Du verwendest den Begriff Transformationsmatrix falsch.
Eine Transformationsmatrix verwandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl der einen Basis gegeben sind, in Koordinatenvektoren bzgl einer zweiten Basis.
Wenn eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] durch A beschrieben wird, ist A die darstellende Matrix der Abbildung.
Es ist dann [mm] \varphi(x)=Ax.
[/mm]
Eine Verschiebung ist keine lineare Abbildung.
> -Für einen Basiswechsel von E nach A ist die
> Transformationsmatrix T= [mm]A^{-1}[/mm]
Ja. Wenn Du mit A hier die Matrix meinst, die die Basisvektoren einer Basis A in den Spalten hat.
> , da der zu
> transformierende Vektor sich auf die neue BAsis bezieht ?
???
Gruß v. Angela
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