Verständnisfragen zu Vektorana < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
schonmal sorry für den langen Roman, aber
ich versuche mich gerade darin, die geometrischen Zusammenhänge hinter der Vektoranalysis zu begreifen, was ziemliche Kopfschmerzen verursacht.
Let's start...:
In der Analysis I hat man vornehmlich mit Funktionen zu tun, die von [mm] \IR \to \IR [/mm] abbilden, d.h. unsere "Vektoren" haten jeweils nur eine Komponente nach der man ableiten etc. konnte, z.B. f(x)=x³+5x²+2.
Zeichnen konnte man diese Funktionen meisten auch recht leicht indem man für die Variable x eine beliebige Zahl eingesetzt hat und hat dann eine andere (das Bild) erhalten, die man schön in sein Koordinatensystem eintragen konnte.
Dieses Semester jedoch ärgern sie uns in Analysis II mit fiesen Dingen wie der Vektoranalysis :(
Das "tolle" hieran ist, dass wir nichtmehr die gelieben normalen Funktionen vor uns haben, nein jetzt bilden wir vom [mm] \IR^n \to \IR [/mm] ab! Also etwa: f(x,y,z)=x²+xy-4z³ [Das wäre ja vom [mm] \IR³ \to \IR]. [/mm] Persönlich anschaulicher finde ich es ja, wenn man es so schreibt: [mm] f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=x_1²+x_1x_2-4x_3³, [/mm] aber wir sind ja nicht bei wünsch dir was und es ist halt Geschmackssache.
Das erste große Schlagwort sind die Partiellen Ableitungen:
hier leitet man ja nach einer Variablen ab und behandelt die übrigen als Konstanten, rein technisch bereitet mir das weniger Problem aber wie habe ich mir das anschaulich vorzustellen? Wenn ich bei einer normalen (normale Funktionen sind für mich die geliebten Ana I Funktionen =p) die Ableitung berechnet habe, dann konnte man es sich ja als Steigung vorstellen. Wie habe ich mir das bei Partiellen Ableitungen vorzustellen? Ist es die Steigung für diese Variable oder so?
Angenommen ich hätte Mal Lust sone Funktion f(x,y,z)=x²+yz ohne Plotter per Hand zu zeichnen, wie müsste ich das machen? Bei normalen Funktionen ging es ja Zahl rein, Zahl raus, ins Koordinatensystem, fertig. Muss ich hier quasi zwei der Variablen immer als beliebige Konstanten ansehen und die andere Variable laufen lassen, bspw. f(x,1,2)=x²+1*2 und das mit allen möglichen Kombinationen?
Mein nächstes Schlagwort wäre der Gradient. Der Gradient ist doch an sich eine eigenständige Funktion, der alle partiellen Ableitungen in sich trägt, sprich [mm] gradf=\vektor{f_x \\ f_y \\ f_z}. [/mm] Der Gradient zeigt immer in Richtung des höchsten/geringsten Anstiegs, aber warum tut er dies?
Bei einem MAX, bzw. MIN ist der Gradient = 0.
Als leztztes hätte ich dann noch den Begriff der Richtungsableitung... was für eine Überlegung steckt hinter einer Richtungsableitung und warum braucht man diese?
Vielen dank schonmal, und es wird bestimmt bald Teil zwei meines Romanes geben ;)
Gute Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 04.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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