Verständnisproblem < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
Ist [mm] $a^3+b^3=c^3$ [/mm] für [mm] $a,b,c\in\IN$, [/mm] so ist [mm] $21\mid [/mm] (abc)$ |
Hallo, Ihr Zahlentheoretiker,
mir ist nicht wohl bei dieser Aufgabenstellung.
Nach Fermat/Wiles ist die Voraussetzung falsch, es gibt schon kein ganzzahliges Lösungstripel $(a,b,c)$ mit [mm] $a,b,c\neq [/mm] 0$, für [mm] $a^3+b^3=c^3$, [/mm] also erst recht kein [mm] $(a,b,c)\in\IN^3$
[/mm]
Also kann ich alles folgern, zB. auch, dass 4 eine Primzahl ist.
Das einzige, was ich mir hier noch denken könnte, ist, dass (mit [mm] $0\in\IN$) [/mm] $(0,0,0)$ als einziges Lösungstripel für [mm] $a^3+b^3=c^3$ [/mm] in Frage kommt und dann trivialerweise [mm] $21\mid [/mm] 0=abc$ gilt.
Aber das erscheint mir für 5/15 Punkten doch arg läppisch ...
Was meint Ihr?
Liebe Grüße
schachuzipus
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> Beweise:
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> Ist [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] für [mm]a,b,c\in\IN[/mm], so ist [mm]12\mid (abc)[/mm]
>
> Hallo, Ihr Zahlentheoretiker,
>
>
> mir ist nicht wohl bei dieser Aufgabenstellung.
>
> Nach Fermat/Wiles ist die Voraussetzung falsch, es gibt
> schon kein ganzzahliges Lösungstripel [mm](a,b,c)[/mm] mit [mm]a,b,c\neq 0[/mm],
> für [mm]a^3+b^3=c^3[/mm], also erst recht kein [mm](a,b,c)\in\IN^3[/mm]
>
> Also kann ich alles folgern, zB. auch, dass 4 eine Primzahl
> ist.
>
>
>
> Das einzige, was ich mir hier noch denken könnte, ist, dass
> (mit [mm]0\in\IN[/mm]) [mm](0,0,0)[/mm] als einziges Lösungstripel für
> [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] in Frage kommt und dann trivialerweise [mm]21\mid 0=abc[/mm]
> gilt.
>
> Aber das erscheint mir für 5/15 Punkten doch arg läppisch
> ...
>
> Was meint Ihr?
>
> Liebe Grüße
>
> schachuzipus
>
hallo schachuzipus,
zuerst wollte ich nur schreiben:
"Da bin ich voll einverstanden. Einerseits ist es
ja noch schön, dass so hart errungene Kenntnisse
wie der "große Satz von Fermat" quasi zum Grund-
wissen gerechnet werden - aber der Bildungseffekt
davon ist wohl kaum viel größer als der irgendeiner
Nachricht über die neuste Affäre eines Filmsternchens ... "
Dann habe ich es mir nochmals überlegt und komme
doch zu einem anderen Schluss:
Man kann versuchen, die Aufgabe einfach einmal
quasi "unbelastet durch Vorkenntnisse" zu betrachten.
Also vergessen wir einmal die Unerfüllbarkeit der
Gleichung [mm] a^3+b^3=c^3 [/mm] mit natürlichen Zahlen
(die wir ja nicht wirklich bewiesen haben).
So gesehen macht die Aufgabe durchaus Sinn.
Als Ansatz zur Lösung würde ich die Gleichung
einmal modulo 2 , modulo 3 und modulo 4
betrachten und an die Faktorzerlegung von
[mm] a^3+b^3 [/mm] denken.
Gruß Al
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Hallo zusammen,
ja, das scheint dann in der Tat so gemeint zu sein.
Dann gehe ich mal von der vermeintlichen Lösbarkeit der Gleichung aus ...
Danke für eure Kommentare
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal, Al,
> Als Ansatz zur Lösung würde ich die Gleichung
> einmal modulo 2 , modulo 3 und modulo 4
> betrachten und an die Faktorzerlegung von
> [mm]a^3+b^3[/mm] denken.
Hmm, du meinst doch sicher, modulo 3 und modulo 7, oder?
[mm] 21=3\cdot{}7
[/mm]
>
> Gruß Al
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
wieso 21? In der Aufgabe stand noch eine 12, oder war das ein Fipptehler?
lg,
reverend
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Hi,
Yepp, das war einer, ich bügel das mal eben aus ...
Mann Mann 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Hallo schachuzipus,
> Beweise:
>
> Ist [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] für [mm]a,b,c\in\IN[/mm], so ist [mm]12\mid (abc)[/mm]
>
Vielleicht war gemeint:
Ist [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] für [mm]a,b,c\in\IN[/mm], so ist [mm]12\mid (abc)[/mm]
Das gilt nämlich auch, es gibt tatsächlich Zahlen, die es erfüllen und es ist ein bisschen aufwändiger zu zeigen...
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
In der Auslegung bin ich ja auf Als Seite.
Wieso ist die Aussage für Quadrate aufwändiger zu zeigen, taura? Ich finde das sehr einfach, jedenfalls, wenn ich pythagoräische Tripel x,y,z mit [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] voraussetzen darf, die sich bei zwei beliebigen vorgegebenen natürlichen Zahlen m,n mit n>m ja so bilden lassen:
[mm] x=n^2-m^2, [/mm] y=2mn, [mm] z=n^2+m^2.
[/mm]
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Hallo reverend,
jaa, ich meinte aufwändiger, als die Argumentation "aus dem Falschen folgt das Beliebige". Schachuzipus' Bedenken waren ja, dass das nicht gemeint sein kann für die entsprechende Punktezahl.
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ach so. Ich dachte, der Nachweis für die Quadrate sei schwieriger als für die Kuben.
Klares Missverständnis. Pardon.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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Hallo schachuzipus,
ehe Du an der Aufgabe verzweifelst (jetzt wo wir uns doch dafür ausgesprochen haben, sie zu bearbeiten ) - da hat jemand zu kurz gedacht, nämlich der Aufgabensteller.
Es ist leicht zu zeigen, dass [mm] 7\mid(abc).
[/mm]
Es ist aber nicht zu zeigen, dass [mm] 3\mid(abc), [/mm] da ja gilt: [mm] n^3\equiv n\mod{3}
[/mm]
Wahrscheinlich war gedacht, dass ja nur die Restklassen [mm] 0,\pm1 [/mm] auftauchen und wie bei der 7 das Entsprechende folgt. Das stimmt aber nicht, da
[mm] 1+1\equiv -1\mod{3} [/mm] und [mm] -1-1\equiv 1\mod{3}
[/mm]
Du könntest auch direkt [mm] \mod{21} [/mm] arbeiten, da gibt es die Restklassen 0,1,6,7,8,13,14,15,20 bzw. [mm] 0,\pm1,\pm6,\pm7,\pm8. [/mm] Es gibt nun zahlreiche Zusammenstellungen, die nicht die vermeintlich zu beweisende Bedingung erfüllen.
lg,
reverend
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Hallo reverend,
> Hallo schachuzipus,
>
> ehe Du an der Aufgabe verzweifelst (jetzt wo wir uns doch
> dafür ausgesprochen haben, sie zu bearbeiten ) - da hat
> jemand zu kurz gedacht, nämlich der Aufgabensteller.
Es ist sogar eine -stellerin
>
> Es ist leicht zu zeigen, dass [mm]7\mid(abc).[/mm]
> Es ist aber nicht zu zeigen, dass [mm]3\mid(abc),[/mm] da ja gilt:
> [mm]n^3\equiv n\mod{3}[/mm]
Ok, dass [mm] $n^3\equiv n\mod [/mm] 3$ ist, ist klar, aber wieso folgt daraus [mm] $3\not| [/mm] \ (abc)$ ?
Kannst du da bitte noch eine Erklärung spendieren?
Danke vorab
schachuzipus
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> > Es ist leicht zu zeigen, dass [mm]7\mid(abc).[/mm]
> > Es ist aber nicht zu zeigen, dass [mm]3\mid(abc),[/mm]
> > da ja gilt:
> > [mm]n^3\equiv n\mod{3}[/mm]
>
> Ok, dass [mm]n^3\equiv n\mod 3[/mm] ist, ist klar, aber wieso folgt
> daraus [mm]3\not| \ (abc)[/mm] ?
Nebenprodukt meines Progrämmchens (wovon man
sich ganz leicht selber überzeugen kann):
wenn z.B. modulo 3 gilt: $\ a=b=1\ ,\ c=2$
dann gilt zwar (auch modulo 3): $\ [mm] a^3+b^3=c^3$
[/mm]
aber nicht $\ a*b*c=0$
Gruß Al
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Hallo nochmal,
> Nebenprodukt meines Progrämmchens (wovon man
> sich ganz leicht selber überzeugen kann):
>
> wenn z.B. modulo 3 gilt: [mm]\ a=b=1\ ,\ c=2[/mm]
>
> dann gilt zwar (auch modulo 3): [mm]\ a^3+b^3=c^3[/mm]
>
> aber nicht [mm]\ a*b*c=0[/mm]
Jo, aber was, wenn [mm] $a\equiv 1\mod [/mm] 3$ und [mm] $b\equiv 2\mod [/mm] 3$ ist (oder umgekehrt)
Dann ist mit [mm] $a^3+b^3=c^3$ [/mm] doch [mm] $c\equiv 0\mod [/mm] 3$, also [mm] $3\mid [/mm] (abc)$
>
>
> Gruß Al
Zurück
schachuzipus
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> > wenn z.B. modulo 3 gilt: [mm]\ a=b=1\ ,\ c=2[/mm]
> >
> > dann gilt zwar (auch modulo 3): [mm]\ a^3+b^3=c^3[/mm]
> >
> > aber nicht [mm]\ a*b*c=0[/mm]
>
> Jo, aber was, wenn [mm]a\equiv 1\mod 3[/mm] und [mm]b\equiv 2\mod 3[/mm] ist
> (oder umgekehrt)
>
> Dann ist mit [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] doch [mm]c\equiv 0\mod 3[/mm], also [mm]3\mid (abc)[/mm]
Das eine Gegenbeispiel zeigt, dass man auf dieser
modulo-Argumentation allein den Beweis nicht
führen kann.
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hallo schachuzipus,
ich habe mal mit einem kleinen Programm
durchgespielt, wie es aussieht, wenn man
einfach die Implikation
[mm] (a^3+b^3=c^3)_n \Rightarrow (a*b*c=0)_n
[/mm]
modulo verschiedener Basen n anschaut.
Die n-Werte mit n<200, für welche dies zutrifft, sind:
[mm] n\in\{2, 7, 13, 14, 26, 91 182\}
[/mm]
Ob es noch welche größer als 182 gibt, weiß ich nicht,
zweifle eher daran.
Weder für n=12 noch für n=21 stimmt es
durchgehend.
Man müsste sich also wohl noch eine andere
Argumentation als die reine Modulo-n-Betrachtung
einfallen lassen.
LG
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Hallo Al,
besten Dank für die Mühe, die du dir gemacht hast.
Das wäre nicht die erste Aufgabe in diesem Semester, die "unklar" bis falsch gestellt wurde ...
Da morgen schon Abgabe ist und ich mich noch mit 2 elliptischen Kurven rumschlagen muss, belasse ich es bei der derzeitigen Erkenntnis und werde einen kurzen Kommentar auf den Übungszettel schreiben.
Aber dir, wie auch den anderen Beteiligten, sei nochmal herzlich gedankt ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
LG
schachuzipus
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