Verständnisproblem DGL-Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 29.10.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
es geht um folgende Differentialgleichung:
[mm] $m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+Dx=\frac{1}{2}\Delta C\cdot V\cdot v_{d}\sin(\omega [/mm] t)$
Dafür ist eine stationäre Lösung angegeben:
[mm] $x_0(t)=\frac{\Delta C\cdot V\cdot v_{d}}{\sqrt{(D-m\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}\sin(\omega t-\phi)$
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt. Mathematica spuckt als Lösung folgendes aus:
[mm] $x_M(t)=e^{-\frac{\left(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-4Dm}\right)t}{2m}}\left(c_{1}+e^{\frac{\sqrt{\gamma^{2}-4Dm}t}{m}}c_{2}\right)+\frac{v_{d}V\Delta C\left(-\gamma\omega\cos(\omega t)+(D-m\omega^{2})\sin(\omega t)\right)}{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(D-m\omega^{2}\right)^{2}}$
[/mm]
mit [mm] $c_1,c_2$ [/mm] als Integrationskonstanten. Mit stationärer Lösung ist vermutlich gemeint, dass 'Einpendelvorgänge' nicht beachtet werden, also für große t betrachtet wird. Dann würde doch der Exponentialterm wegfallen, also so:
[mm] $x_S(t)=\frac{v_{d}V\Delta C\left(-\gamma\omega\cos(\omega t)+(D-m\omega^{2})\sin(\omega t)\right)}{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(D-m\omega^{2}\right)^{2}}$
[/mm]
Das sieht aber immer noch nicht aus wie [mm] $x_0(t)$...
[/mm]
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
> Hallo,
>
> es geht um folgende Differentialgleichung:
> [mm]m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+Dx=\frac{1}{2}\Delta C\cdot V\cdot v_{d}\sin(\omega t)[/mm]
>
> Dafür ist eine stationäre Lösung angegeben:
> [mm]x_0(t)=\frac{\Delta C\cdot V\cdot v_{d}}{\sqrt{(D-m\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}\sin(\omega t-\phi)[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt. Mathematica
> spuckt als Lösung folgendes aus:
>
> [mm]x_M(t)=e^{-\frac{\left(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-4Dm}\right)t}{2m}}\left(c_{1}+e^{\frac{\sqrt{\gamma^{2}-4Dm}t}{m}}c_{2}\right)+\frac{v_{d}V\Delta C\left(-\gamma\omega\cos(\omega t)+(D-m\omega^{2})\sin(\omega t)\right)}{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(D-m\omega^{2}\right)^{2}}[/mm]
>
> mit [mm]c_1,c_2[/mm] als Integrationskonstanten. Mit stationärer
> Lösung ist vermutlich gemeint, dass 'Einpendelvorgänge'
> nicht beachtet werden, also für große t betrachtet wird.
> Dann würde doch der Exponentialterm wegfallen, also so:
> [mm]x_S(t)=\frac{v_{d}V\Delta C\left(-\gamma\omega\cos(\omega t)+(D-m\omega^{2})\sin(\omega t)\right)}{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(D-m\omega^{2}\right)^{2}}[/mm]
>
> Das sieht aber immer noch nicht aus wie [mm]x_0(t)[/mm]...
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
Der Ausdruck
[mm]-\gamma\omega\cos(\omega t)+(D-m\omega^{2})\sin(\omega t)[/mm]
wurde zusammengefasst zu
[mm]A*\sin\left(\omega*t-\phi\right)[/mm]
Um das A herauszubekommen vergleichst Du diese beiden Ausdrücke.
> Gruß,
>
> notinX
Gruss
MathePower
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