Verständnisproblem Homomorphi. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 So 17.01.2010 | | Autor: | soloking |
Hallo!
Um gleich zum Thema zu kommen: ich habe echt Probleme, den Homomorphismus zu verstehen.
Die mir zugrundeliegende Definition:
(M1,+), (M2,*) seien zwei Halbgruppen. Eine Abbildung F von M1 in M2 heißt Homomorphismus, wenn für jedes x,y [mm] \in [/mm] M gilt:
F(x+y) = F(x)*F(y)
Erstmal 2 Grundsatzfragen:
1. Laut Definition müssen es 2 Halbgruppen sein. Ist das so korrekt, oder habe ich das falsch aufgeschnappt?
2. Die Definition sagt: "wenn für jedes x,y [mm] \in [/mm] M gilt: ..." Dort steht also M, nicht etwa M1 oder M2. Es müsste korrekterweise aber M1 heißen, richtig?
So, jetzt zur "Formel" ansich.
Also unser Prof versuchte das kurz zu sagen: "Es ist egal, ob ich erst 2 Dinge auf den Mond verknüpfe und dann auf die Erde bringe, oder die 2 Dinge erst auf die Erde bringe und dann verknüpfe."
Die Beispiele im Netz sind aber alle gleich so hochgestochen, gibt es denn kein einfaches Beispiel mit 2 einfachen Mengen (z.B. [mm] \IN, \IZ [/mm] oder [mm] \IQ) [/mm] und einfachen Verknüpfungen, wie zum Beispiel Addition und Multiplikation? Es ist bei mir immer so, wenns mal klick gemacht hat, kann ich mir die komplizierteren Beispiele auch selbst beibringen. Desweiteren würde ich Isomorphismus, Endomorphismus und Automorpismus dann auch gleich verstehen, der Homomorphismus ist aber die Grundlage dafür.
Woran ich momentan hängenbleibe:
Es heißt ja F(x+y) = F(x)*F(y)
betrachten wir zunächst die linke Seite F(x+y).
Das würde ja heißen "erst auf dem Mond verknüpfen und dann zur Erde bringen".
Gut, ich nehme also 2 Elemente aus M1 und Verknüpfe diese. Das Ergebnis dieser Verknüpfung muss dann in M2 stecken? (oder wie sollte die Abbildung sonst funktionieren).
Falls das stimmen sollte, wovon ich nicht zwingend ausgehe, dann zur rechten Seite F(x)*F(y).
Das wäre dann ja "Elemente erst zur Erde und dann dort verknüpfen".
Wenn ich x,y [mm] \in [/mm] M1 jetzt zur Erde bringe, heißt das, dass x,y auch [mm] \in [/mm] M2 sein müssen? Das würde ja bedeuten, dass M2 auf jeden Fall "weiter/offener" sein muss als M1.
Ok, dann folgt die Verknüpfung, und spätestens hier schalte ich total ab: wenn die Verknüpfung auf der Erde das gleiche Resultat liefert wie das auf dem Mond, bei gleichem x,y, dann müsste ja auch die Verknüpfung identisch sein (ja ich weiß, das ist quatsch. Aber jetzt seht ihr, wo mein Problem liegt).
Das zu verstehen wäre gut, dann könnte ich die anderen genannten Begriffe vermutlich selbst verstehen.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
> 1. Laut Definition müssen es 2 Halbgruppen sein. Ist das so korrekt, oder habe ich das falsch aufgeschnappt?
Homomorphismen kann (und will) man für viele Strukturen definieren. So gibt es Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen, Körperhomomorphismen usw. usf.
> 2. Die Definition sagt: "wenn für jedes [mm] x,y\inM [/mm] gilt: ..." Dort steht also M, nicht etwa M1 oder M2. Es müsste korrekterweise aber M1 heißen, richtig?
Ja, das müsste [mm] M_1 [/mm] heissen.
Die ganzen Ausführungen mit Erde und Mond fand ich jetzt eher verwirrend. Zunächst solltest du dir klar machen, dass bereits die Identitätsabbildung [mm] x\mapsto{}x [/mm] die Homomorphismuseigenschaft besitzt (hier ist [mm] M_1=M_2). [/mm] Und nun mal ein Standardbeispiel für einen Gruppenhomomorphismus:
[mm] \exp:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}_+,\cdot)
[/mm]
[mm] x\mapsto{}e^x
[/mm]
Und tatsächlich gilt für diese Abbildung, wie man schon aus der Schule weiss: [mm] \exp(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot{}e^y=\exp(x)\cdot\exp(y).
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 17.01.2010 | | Autor: | soloking |
Hallo mgoetze,
vielen Dank schonmal!
Zwar kann ich noch nicht alles zu 100% nachvollziehen, aber das hilft mir schonmal sehr weiter.
Das mit der Beschränkung auf Halbgruppen hat unser Prof wohl zur Vereinfachung so gemacht, mir solls recht sein (Mathe ist "nur" Nebenfach).
Also, eine Erkenntnis aus deinem Post:
Die Abbildungsvorschrift von der einen Menge in die andere, die muss bekannt sein, wenn etwas auf Homomorphismus untersucht werden soll, richtig? Bei dir exp()
Neuer Versuch, ist Homomorphismus grob gesagt das hier: ?
1. Ich verknüpfe x und y aus M1 (mit der ersten Verknüpfungsart) und wende dann die angegebene Abbildungsvorschrift an, das Resultat muss zwingend [mm] \in [/mm] M2 sein, sonst kann man schon abbrechen.
2. Dann nehme ich das selbe x und y wie in 1. und wende auf beide einzeln die Abbildungsvorschrift an. Beide Zwischenresultate müssen [mm] \in [/mm] M2 sein, sonst stimmt wieder was nicht. Jetzt verknüpfe ich beide Zwischenresultate mit der zweiten Verknüpfungsart und das Endresultat muss dem aus 1. entsprechen.. dann ist das Homomorphimus.
Was meinst du zu dieser groben Ausführung?
edit: Achja, dass muss dann natürlich für jedes beliebige x, y [mm] \in [/mm] M1 gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
Ja, genau so prüft man ob eine bekannte Abbildung ein Monoid- (bzw. Halbgruppen) Homomorphismus ist. Je komplizierter die Struktur wird, desto mehr Bedingungen musst du prüfen - bei einer Gruppe z.B. noch, ob das neutrale Element in [mm] G_1 [/mm] auf das neutrale Element von [mm] G_2 [/mm] abgebildet wird (im Beispiel vorhin: [mm] $exp(0)=e^0=1$).
[/mm]
Homomorphismen sind also sozusagen strukturerhaltende Abbildungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 17.01.2010 | | Autor: | soloking |
Vielen Dank, super!
Noch eine allerletzte Frage zum Isomorphismus: dieser liegt ja vor, wenn ein Homomorphismus surjektiv und injektiv, also bijektiv ist (linkseindeutig und rechtstotal eben).
Das heißt, jedes Element von M2 muss genau einmal Endresultat der ganzen Operation sein, mehr nicht?
Deshalb wäre dein [mm] e^x [/mm] * [mm] e^y [/mm] = e^(x+y) kein Isomorphimus, weil man z.b. das Resultat [mm] e^3 [/mm] aus [mm] e^2 [/mm] * [mm] e^1 [/mm] oder aber auch aus [mm] e^0 [/mm] * [mm] e^3 [/mm] "herstellen" könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 18.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
> Vielen Dank, super!
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> Noch eine allerletzte Frage zum Isomorphismus: dieser liegt
> ja vor, wenn ein Homomorphismus surjektiv und injektiv,
> also bijektiv ist (linkseindeutig und rechtstotal eben).
>
> Das heißt, jedes Element von M2 muss genau einmal
> Endresultat der ganzen Operation sein, mehr nicht?
Endresultat der Abbildung, ja.
> Deshalb wäre dein [mm]e^x[/mm] * [mm]e^y[/mm] = e^(x+y) kein Isomorphimus,
> weil man z.b. das Resultat [mm]e^3[/mm] aus [mm]e^2[/mm] * [mm]e^1[/mm] oder aber auch
> aus [mm]e^0[/mm] * [mm]e^3[/mm] "herstellen" könnte?
Doch, exp ist ein Isomorphismus. Es gibt nur genau ein Element aus [mm] (\mathbb{R},+) [/mm] welches du reinstecken kannst um [mm] $e^3$ [/mm] rauszubekommen, nämlich 3 -- und ebenso für alle anderen positiven Zahlen (also ist exp injektiv). Ausserdem lässt sich jede positive reelle Zahl als [mm] e^x ($x\in\mathbb{R}$) [/mm] darstellen, d.h. exp ist surjektiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mo 18.01.2010 | | Autor: | soloking |
Alles klar, danke nochmals für deine Hilfe!
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