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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | | Für welche q [mm] \in \IN_{>0} [/mm] ist die Menge aller reellen qxq Matrizen ohne die entsprechende Nullmatrix mit Operationen der Matrixmultiplikation und [mm] E_{q} [/mm] als Identität eine Gruppe? |
Hallo zusammen,
ich verstehe einfach nicht was gefragt ist.
V.a. "Für welche q [mm] \in \IN_{>0} [/mm] ist die Menge". Ansonst würde ich die Gruppenaxiome prüfen, wobei auch da habe ich ein Problem, ich kenne das Inverse einer Matrix noch nicht.
Weiss jemand wie das zu verstehen ist?
Ps. ich habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Fr 10.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für welche q [mm]\in \IN_{>0}[/mm] ist die Menge aller reellen qxq
> Matrizen ohne die entsprechende Nullmatrix mit Operationen
> der Matrixmultiplikation und [mm]E_{q}[/mm] als Identität eine
> Gruppe?
> ich verstehe einfach nicht was gefragt ist.
>
> V.a. "Für welche q [mm]\in \IN_{>0}[/mm] ist die Menge".
Naja für jede natürliche Zahl [mm] $q\in\IN$ [/mm] gibt es die Menge [mm] $\operatorname{Mat}(q\times q,\IR)$ [/mm] der reellen [mm] $q\times [/mm] q$ Matrizen. Z.B. für $q=2$ die Menge aller [mm] $2\times2$-Matrizen.
[/mm]
Diese Menge bildet zusammen mit der Matrixmultiplikation und [mm] $E_q$ [/mm] als Identität stets einen ![[]](/images/popup.gif) Monoid. Die Frage ist halt für welche $q$ es sogar eine Gruppe ist. Überprüfe doch zunächst die Gruppenaxiome für $q=1$. Für $q>1$ findest du sicher Matrizen, die nicht invertierbar sind - die anderen Gruppenxiome sind nämlich, wie gesagt, erfüllt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Robert,
vielen Dank für deine Antwort!
meist du ich muss mit allen q>1 Matrizen die Gruppenaxiome prüfen? Das wäre ja ein riesen aufwand, nicht?
Gruss,
Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Robert,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> meist du ich muss mit allen q>1 Matrizen die Gruppenaxiome
> prüfen? Das wäre ja ein riesen aufwand, nicht?
Nein, denn für q>1 gibt es Matrizen, die kein multiplikatives Inverses haben, und damit sind die Gruppeneigenschaften futsch.
Wie sieht es bei q=1 aus ?
FRED
>
> Gruss,
> Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
also für q = 1, also eine 1x1 Matrize habe ich es durch gerechnet und das ist meiner meinung nach eine Gruppe, aber für q = 2 , also 2x2 matrize stimmt es schon nicht mehr.
d.h. ich muss nicht weiter rechnen?
was denkst du, ist die aufgabe erfüllt, wenn ich es mit solchen zahlen beispiele mache, oder muss ich einen allgemeinen weg finden?
gruss,
nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Fr 10.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> also für q = 1, also eine 1x1 Matrize habe ich es durch
> gerechnet und das ist meiner meinung nach eine Gruppe, aber
> für q = 2 , also 2x2 matrize stimmt es schon nicht mehr.
>
> d.h. ich muss nicht weiter rechnen?
>
> was denkst du, ist die aufgabe erfüllt, wenn ich es mit
> solchen zahlen beispiele mache, oder muss ich einen
> allgemeinen weg finden?
Nein, ein Gegenbeispiel ist ein wasserdichter mathematischer Beweis um eine Falsche Allaussage zu widerlegen. Bisher hast du aber nur bewisen, dass es für $q=1$ eine Gruppe ist, und für $q=2$ nicht. Tatsächlich ist es aber für alle $q>1$ keine Gruppe mehr, d.h. du musst für jedes $q>1$ eine Matrix angeben können, die nicht invertierbar ist. Aber auch das sollte nicht so schwierig sein.
Gruß Robert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
meinst du ich kann es für q=1 und q = 2 machen und dann einfach eine qxq matrize durchrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> meinst du ich kann es für q=1 und q = 2 machen und dann
> einfach eine qxq matrize durchrechnen?
?????????????????????????????????????
Sei q>1 und A = [mm] (a_{ij}) [/mm] die qxq - Matrix mit [mm] a_{11}=1 [/mm] und alle anderen [mm] a_{ij}=0.
[/mm]
Ist A invertierbar ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > meinst du ich kann es für q=1 und q = 2 machen und dann
> > einfach eine qxq matrize durchrechnen?
>
>
> ?????????????????????????????????????
>
> Sei q>1 und A = [mm](a_{ij})[/mm] die qxq - Matrix mit [mm]a_{11}=1[/mm] und
> alle anderen [mm]a_{ij}=0.[/mm]
ach ich bin einfach so schwer von begriff....ist das normal am anfang des studiums?!???? zu deiner frage, natürlich nein sie ist nicht invertierbar....muss mir nur noch überlegen wie ich das sauber aufschreiben kann...
>
> Ist A invertierbar ?
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> > > meinst du ich kann es für q=1 und q = 2 machen und dann
> > > einfach eine qxq matrize durchrechnen?
> >
> >
> > ?????????????????????????????????????
> >
> > Sei q>1 und A = [mm](a_{ij})[/mm] die qxq - Matrix mit [mm]a_{11}=1[/mm] und
> > alle anderen [mm]a_{ij}=0.[/mm]
>
>
> ach ich bin einfach so schwer von begriff....ist das normal
> am anfang des studiums?!???? zu deiner frage, natürlich
> nein sie ist nicht invertierbar....muss mir nur noch
> überlegen wie ich das sauber aufschreiben kann...
> >
det(A)= ?
FRED
> > Ist A invertierbar ?
> >
> > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > > > meinst du ich kann es für q=1 und q = 2 machen und dann
> > > > einfach eine qxq matrize durchrechnen?
> > >
> > >
> > > ?????????????????????????????????????
> > >
> > > Sei q>1 und A = [mm](a_{ij})[/mm] die qxq - Matrix mit [mm]a_{11}=1[/mm] und
> > > alle anderen [mm]a_{ij}=0.[/mm]
> >
> >
> > ach ich bin einfach so schwer von begriff....ist das
> normal
> > am anfang des studiums?!???? zu deiner frage, natürlich
> > nein sie ist nicht invertierbar....muss mir nur noch
> > überlegen wie ich das sauber aufschreiben kann...
> > >
>
> det(A)= ? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") kenn ich nicht det(A)....meinst du determinate? diese haben wir eben noch nicht.
>
> FRED
>
>
> > > Ist A invertierbar ?
> > >
> > > FRED
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Dann machen wir es anders:
Sei B = [mm] (b_{ij}) [/mm] eine qxq-Matrix und A wie oben. Schreibe Dir mal sauber das Produkt AB auf. Kann da jemals die Einheitsmatrix rauskommen ?
Nein! Also ist A nicht invertierbar.
FRED
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