Vertauschbarkeit von GW/Diff. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Zeige, dass ein Polynom durch seine Taylorreihe in einem beliebigen Punkt [mm] x_0 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] darstellbar ist.
(b) Zeige mit Hilfe des Satzes über Vertauschbarkeit von Differentiation und Summation bei Potenzreihen, dass cos´(x)=-sin(x) und sin´(x)=cos(x) für x [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo,
zur (a):
Ich bin bezüglich meiner Lösung etwas ungläubig. Ich brauche im Prinzip gar nicht viel zu schreiben. Also sei [mm] P_n(x) [/mm] ein Polynom n-ten Grades und [mm] T_{x_0, n}(x) [/mm] das dazugehörige Taylorpolynom mit einem beliebigen Entwicklungspunkt [mm] x_0 \in\IR. [/mm] Dann gilt doch für das Lagrange- Restglied:
[mm] |P_n(x)-T_{x_0, n}|= \bruch{1}{(n+1)!}P_n^{n+1}(\gamma)(x-x_0)^{n+1}= [/mm] 0 weil [mm] P_n^{n+1}(\gamma) [/mm] immer 0 ist für alle [mm] \gamma \in\IR. [/mm] Damit wäre man doch schon fertig oder irre ich mich?
(b)
Ich zeige: -sin(x)=cos´(x) indem ich -sin(x) integriere:
Der Konvergenzradius ist bei Sinus ja bekanntlich ganz [mm] \IR, [/mm] also brauche ich mir keine Sorgen zu machen, ob der Satz über die Vertauschbarkeit von Integration und Summation gilt.
[mm] -\integral_{0}^{x}{sin(t) dt}
[/mm]
= [mm] -\integral_{0}^{x}{(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}) dt}
[/mm]
[mm] =-\summe_{k=0}^{\infty}(\integral_{0}^{x}\bruch{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] dt)
[mm] =-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}x^{2k+2}}{(2k+2)(2k+1)!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!} [/mm]
... Das ist nicht wirklich das was ich haben wollte. Gibt es hier einen Trick? Darf ich z.B. ohne weiteres das hier machen?
2k+2:= 2n [mm] \Rightarrow \exists x\in\IR: t^{2k+2}=x^{2n} [/mm]
sodass ich schreiben kann:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=cos(x)
[/mm]
Auch wenn ich das machen könnte, habe ich ja gezeigt: -sin(t) aufgeleitet
ergibt cos(x) und damit hab ich zwei verschiedene Variablen.. es sollten aber doch schon die selben sein!?
Ich weiß mir gerade nicht zu helfen. Würde mich über einen Hinweis freuen!
Grüße, kulli
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Hallo, ich merke gerade selber, dass der Weg irgendwie nicht so sinnvoll war. Habe nochmal genau ins Skript geschaut und weiß jetzt, dass ich anders vorgehen sollte.
Es geht um den Satz 1:
Ist [mm] \summe_{n\ge1}^{}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konv. Radius R>0, so ist die Funktion P: (-R, [mm] R)\to\IC, P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] diffbar und [mm] P´(x)=\summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
[/mm]
Davor hatten wir diesen Satz 2:
Vertauschbarkeit des Grenzwerts mit Differentiation:
Seien [mm] f_n: [/mm] [a, [mm] b]\to\IC [/mm] mit:
(1) [mm] f_n [/mm] stetig diffbar
(2) [mm] f_n\to [/mm] f, [mm] n\to \infty [/mm] punktweise
(3) f´_n konvergiert gleichmäßig gegen g: [a, [mm] b]\to\IC
[/mm]
Dann ist f auch stetig diffbar und f´=g, das heißt [mm] \bruch{d}{dx}(\limes_{n\rightarrow\infty}f_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{d}{dx}f_n) [/mm]
So und ich soll zeigen: (i)cos´(x)=-sin(x) und (ii)sin´(x)=cos(x) für [mm] x\in\IR.
[/mm]
Abgesehen davon, dass mir die Eigenschaften vom cos(x) bekannt sind, könnte es sein, dass ich die 3 Punkte von Satz 2 nochmal Zeigen muss? Andernfalls verstehe ich nicht was die Aufgabe soll, da man (bei (i)) cos(x) dann laut Satz 1 einfach ableiten könnte (also die Reihe) und dann nach ein wenig friemeln schon -sin(x) erhält.
Hat jemand eine Idee worin hier die Aufgabe bestehen soll? Ansonsten freu ich mich über die geschenkten Punkte.. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 22.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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