Vertauschbarkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:27 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Saschman |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu der folgenden Matrix A alle Matrizen B, die mit A vertauschbar sind, für
die also gilt A⋅B = B⋅A:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 } [/mm] |
Hallo Leute,
habe soeben den Bereich Matrizen durchgearbeitet, weiss aber nicht wie ich bei diese Aufgabe einsteigen soll.
Es müsste doch irgendwie darauf hinauslaufen, dass ich ein Gleichungssystem für die unbekannten Matrixelemente erhalte oder?
Wär lieb wenn Ihr mir hier helfen würdet!
DANKE
LG
Sascha
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Do 13.12.2007 | | Autor: | millie |
Hallo Sacha,
ich stehe vor genau der derselben Aufgabe.
Ich bin mit dem Ansatz ranngegangen, die Matrix A mit einer Matrix B bestehend aus lauter Unbekannten zu multiplizieren. Das sieht dann ungefähr so aus:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}\ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a+0+0 & b+0+0 & c+0+0 \\ a+2d+0 & b+2e+0 & c+2f+0 \\ 2a+d+g & 2b+e+h & 2c+f+i \end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}a+b+2c & 0+2b+c & 0+0+c \\ d+c+2f & 0+2e+f & 0+0+f \\ g+h+2i & 0+2h+i & 0+0+i \end{pmatrix}
[/mm]
daraus ergibt sich:
[mm] \begin{pmatrix} a+0+0 & b+0+0 & c+0+0 \\ a+2d+0 & b+2e+0 & c+2f+0 \\ 2a+d+g & 2b+e+h & 2c+f+i \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}a+b+2c & 0+2b+c & 0+0+c \\ d+c+2f & 0+2e+f & 0+0+f \\ g+h+2i & 0+2h+i & 0+0+i \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus muss man nun das Gleichungssystem ableiten. Aber wie das funktioniert habe ich noch nicht herausgefunden.
Wenn da jemand 'ne Idee hat, wie man hier weiter vorgehen muss, wäre ich auch sehr dankbar!
Grüße, Millie
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> [mm]\begin{pmatrix} a+0+0 & b+0+0 & c+0+0 \\ a+2d+0 & b+2e+0 & c+2f+0 \\ 2a+d+g & 2b+e+h & 2c+f+i \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}a+b+2c & 0+2b+c & 0+0+c \\ d+c+2f & 0+2e+f & 0+0+f \\ g+h+2i & 0+2h+i & 0+0+i \end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus muss man nun das Gleichungssystem ableiten.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die rechte und linke Matrix sind gleich, wenn ihre Einträge übereinstimmen.
Es müssen also rechts und links die Elemente an den entsprechenden Plätzen übereinstimmen, also
a+0+0=a+b+2c
[mm] \vdots
[/mm]
Du erhältst 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten, das GS ist linear, sollte also problemlos zu lösen sein - über die Interpretation muß man dann nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 20.12.2007 | | Autor: | Saschman |
Gut.ich hab das jetzt mal weitergespielt und mir alle Gleichungen aufgeschrieben.
es ist ja sicher, dass die 0-Matrix eine richtige Antwort ist.
Aber sonst sehe ich hier nicht wirklich weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 20.12.2007 | | Autor: | Zorba |
Und wenn du die aufgeschriebenen Gleichungen löst, was bekommst du dann heraus?
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> Gut.ich hab das jetzt mal weitergespielt und mir alle
> Gleichungen aufgeschrieben.
Hallo,
wie Zorba schon sagt: die Lösung dieses Gleichungssystems wäre nun ja interessant.
Dafür hast Du's ja aufgeschrieben...
Wie lautet denn die Lösung?
> es ist ja sicher, dass die 0-Matrix eine richtige Antwort
> ist.
Ja, allerdings kippt einen das noch nicht vom Stuhl, und dafür hätte man kein Gleichungssystem gebraucht. Die Nullmatrix ist eine sehr langweilige Lösung, und ich glaube nicht, daß es die einzige ist. Die Einheitsmatrix tut's ja auch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 08.01.2008 | | Autor: | Saschman |
Hallo,
sorry für die späte Antwort..
die Gleichungen aufgestellt lauten wie folgt:
a = a + b + 2c
b = 2b + c
a + 2d = d + c + 2f
b + 2e = 2e + f
c + 2f = f
2a + d + g = g + h + 2i
2b + e + h = 2h + i
2c + f + i = i
dabei komme ICH wirklich nur auf die 0-Matrix Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 09.01.2008 | | Autor: | icenfels |
moin, müsste b21 nicht d+e+2f (anstatt d+c+2f) heißen? also a+2d=d+e+2f
> Hallo,
> sorry für die späte Antwort..
>
> die Gleichungen aufgestellt lauten wie folgt:
>
> a = a + b + 2c
> b = 2b + c
> a + 2d = d + c + 2f // Fehler?
> b + 2e = 2e + f
> c + 2f = f
> 2a + d + g = g + h + 2i
> 2b + e + h = 2h + i
> 2c + f + i = i
>
> dabei komme ICH wirklich nur auf die 0-Matrix Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Saschman |
in der Tat...muss a+2d=d+e+2f sein
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> Hallo,
> sorry für die späte Antwort..
>
> die Gleichungen aufgestellt lauten wie folgt:
>
> a = a + b + 2c
> b = 2b + c
> a + 2d = d + c + 2f
> b + 2e = 2e + f
> c + 2f = f
> 2a + d + g = g + h + 2i
> 2b + e + h = 2h + i
> 2c + f + i = i
>
> dabei komme ICH wirklich nur auf die 0-Matrix Lösung.
Hallo,
irgendwie hast Du eine Gleichung vergessen, das sind ja nur acht - was Dir allerdings eher mehr als weniger Lösungen liefern sollte.
Wo Dein Fehler liegt, kann ich Dir nicht sagen, ich weiß ja nicht, was Du gerechnet hast.
Zunächt würde man ja erstmal a = a + b + 2c schreiben als 0=b+2c
Du erhältst ein homogens LGS in den Variablen a,b,...,h,i,
welches Du mit einer der einschlägigen Methoden lösen würdest.
Daß Du das GS nicht richtig gelöst hast, siehst Du ja daran, daß Dir die Einheitsmatrix, welche offensichtlich(!) eine Lösung ist, aus irgendeinem Grunde verloren geht.
Falls Du Dich weiterhin für die Lösung interessierst, mußt Du mal vorrechnen, wie Du das GS löst - sonst kann ich nicht sehen, was Du verkehrt machst.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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Ich hab als Lösungen die Einheitheitsmatrix und die 0 - Matrix natürlich und dann hab noch die Inverse - Matrix gebildet. Mit g, h, i, x [mm] \in \IR [/mm] als veränderliche wäre B = [mm] \pmat{ 2x & 0 & 0 \\ -x & x & 0 \\ -3x & -x & 2} [/mm] und dann aus der umformung des gleichungssystems B = [mm] \pmat{ i & 0 & 0 \\ h & h + i & 0 \\ g & h & i} [/mm] mit A vertauschbar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | j_HH |
Ich habe ein ganz ähnliches Problem zu lösen.
ich verstehe den letzten Schritt nicht ganz:
Wie komme ich, nach dem man die 9 Gleichungen gleich gesetzt und so aufgelöst hat, daß auf linken Seite nur eine Null steht, auf die Matrix
$ [mm] \pmat{ i & 0 & 0 \\ h & h + i & 0 \\ g & h & i} [/mm] $
Mir fehlen da der/die Zwischenschritt/e .
(Aufgabe angefügt)
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> Ich habe ein ganz ähnliches Problem zu lösen.
>
> ich verstehe den letzten Schritt nicht ganz:
>
> Wie komme ich, nach dem man die 9 Gleichungen gleich
> gesetzt und so aufgelöst hat, daß auf linken Seite nur
> eine Null steht, auf die Matrix
> [mm]\pmat{ i & 0 & 0 \\
h & h + i & 0 \\
g & h & i}[/mm]
>
> Mir fehlen da der/die Zwischenschritt/e .
Hallo,
.
Ich finds gut, daß Du Dich in alten Threads umgesehen hast, um Dein Problem zu lösen.
Nun wird keiner, der hier vor ein paar Jahren beteiligt war, noch alles im Kopf haben. Könntest Du das Gleichungssystem und am besten auch seine Koeffizientenmatrix hier nochmal notieren?
Es war ja ein GS mit 9 Variablen und 9 Zeilen, wenn ich es recht überblicke.
Dann kann man Dir weiterhelfen, ohne allzuviel Mühe zu haben.
Auf jeden Fall handelt es sich um ein Gleichungssystem, welches nicht eindeutig lösbar ist, sondern viele Lösungen hat.
LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Fr 06.01.2012 | | Autor: | j_HH |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
vielen Dank für Deine schnelle Reaktion.
Hier die Matrizen.
$ \pmat{ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0} $ = A
$ \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i} $ = B
$ \pmat{ a+d+3g & b+e+3h & c+f+3i \\ 0+3d+g & 0+3e+h & 0+3f+3i \\ 0+0+g & 0+0+h & 0+0+i $ = AB
$ \pmat{ a+0+0 & a+3b+0 & 3a+b+c \\ d+0+0 & d+3e+0 & 3d+e+f \\ g+0+0 & g+3h+0 & 3g+h+i $ = BA
\qquad \qquad \qquad \qquad Nach Null aufgelöst:
I)\qquad a+d+3g = a\qquad \to \qquad d+3g = 0
II)\qquad b+e+3h = a+3b\qquad \to \qquad -a-2+e+3h = 0
III)\qquad c+f+3i = 3a +b+c\qquad \to \qquad -3a-b+f+3i = 0
IV)\qquad 3d+ g = d \qquad \to \qquad 2d+g = 0
V)\qquad 3e+h = d+3e\qquad \to \qquad h-d = 0
VI)\qquad 3f+3i = 3d+e+f\qquad \to \qquad -3d-e+2f+3i = 0
VII)\qquad g = g\qquad \to \qquad 0
VIII)\qquad h = g+3h\qquad \to \qquad -2h-g = 0
IX)\qquad i = 3g+h+i\qquad \to \qquad -3g-h = 0
$ \pmat{ I & II & III \\ IV & V & VI \\ VII & VIII & IX} $ = X
(Wenn X für B, dann B mit A tauschbar, so die Überlegung)
P.S.: ich hoffe, ich habe jetzt nichts falsch abgetippt.
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> Hallo,
>
> vielen Dank für Deine schnelle Reaktion.
>
> Hier die Matrizen.
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 0}[/mm] = A
>
> [mm]\pmat{ a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i}[/mm] = B
>
> [mm]\pmat{ a+d+3g & b+e+3h & c+f+3i \\
0+3d+g & 0+3e+h & 0+3f+3i \\
0+0+g & 0+0+h & 0+0+i[/mm]
> = AB
>
> [mm]\pmat{ a+0+0 & a+3b+0 & 3a+b+c \\
d+0+0 & d+3e+0 & 3d+e+f \\
g+0+0 & g+3h+0 & 3g+h+i[/mm]
> = BA
>
>
>
>
>
> [mm]\qquad \qquad \qquad \qquad[/mm] Nach Null aufgelöst:
> [mm]I)\qquad[/mm] a+d+3g = [mm]a\qquad \to \qquad[/mm] d+3g = 0
>
> [mm]II)\qquad[/mm] b+e+3h = [mm]a+3b\qquad \to \qquad[/mm] -a-2b+e+3h = 0
>
> [mm]III)\qquad[/mm] c+f+3i = 3a [mm]+b+c\qquad \to \qquad[/mm] -3a-b+f+3i =
> 0
>
> [mm]IV)\qquad[/mm] 3d+ g = d [mm]\qquad \to \qquad 2d+g[/mm] = 0
>
> [mm]V)\qquad[/mm] 3e+h = [mm]d+3e\qquad \to \qquad h-d[/mm] = 0
>
> [mm]VI)\qquad[/mm] 3f+3i = [mm]3d+e+f\qquad \to \qquad[/mm] -3d-e+2f+3i =
> 0
>
> [mm]VII)\qquad[/mm] g = [mm]g\qquad \to \qquad[/mm] 0
>
> [mm]VIII)\qquad[/mm] h = [mm]g+3h\qquad \to \qquad -2h-g[/mm] = 0
>
> [mm]IX)\qquad[/mm] i = [mm]3g+h+i\qquad \to \qquad -3g-h[/mm] = 0
Hallo,
dieses LGS ist nun zu loesen mit irgendeinem der Verfahren, die Du zur Lösung von linearen Gleichungssystemem gelernt hast.
Du kannst ja nicht einfach Gleichungen in die Matrix schreiben:
>
>
> [mm]\pmat{ I & II & III \\
IV & V & VI \\
VII & VIII & IX}[/mm] = X
Ich gehe davon aus, daß in Deiner Vorlesung der Gaußalgorithmus besprochen wurde.
Wenn ja, stell die Koeffizientenmatrix des Systems auf und bring sie auf ZSF. Ansonsten kannst Du natürlich auch eine Variable nach der anderen eliminieren.
Das Lösen des LGS möchte ich Dir nicht abnehmen.
Ich würd' lieber zuschauen, wie Du es machst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 06.01.2012 | | Autor: | j_HH |
Vielen Dank für Deine Antwort.
Ich werde mich mal versuchen.
Bin aber erstmal froh, einen richtigen Ansatz gefunden zu haben.
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