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Vertauschen Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mo 23.08.2010
Autor: hula

Hallöchen,

Ich hab da eine kleine Frage zum Vertauschen von Integral und Summe. Ich möchte ganz sicher sein, daher frage ich nach.

wenn ich eine Partialsumme: [mm]S_N = \summe_{i=1}^{N} f_i[/mm]
habe, wobei die $\ [mm] f_i$ [/mm] Funktionen sind (integrierbar). Dann darf ich doch folgendes machen:

[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{S_N dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{\summe_{i=1}^{N} f_i dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{N} \integral_X{f_i dx } = \summe_{i=1}^{\infty} \integral_X{f_i dx }[/mm]

aufgrund der Endlichkeit der Summe. Stimmt dies?

        
Bezug
Vertauschen Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Mo 23.08.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hallöchen,
>
> Ich hab da eine kleine Frage zum Vertauschen von Integral
> und Summe. Ich möchte ganz sicher sein, daher frage ich
> nach.
>  
> wenn ich eine Partialsumme: [mm]S_N = \summe_{i=1}^{N} f_i[/mm]
>  
> habe, wobei die [mm]\ f_i[/mm] Funktionen sind (integrierbar). Dann
> darf ich doch folgendes machen:
>  
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{S_N dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{\summe_{i=1}^{N} f_i dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{N} \integral_X{f_i dx } = \summe_{i=1}^{\infty} \integral_X{f_i dx }[/mm]
>  
> aufgrund der Endlichkeit der Summe. Stimmt dies?

Genau, das ist richtig.

Probleme gäbe es bloß beim Schritt [mm] $\integral_X \limes_{N\rightarrow\infty} S_N [/mm] dx = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X S_N [/mm] dx$, dort wird Grenzprozess und Integral vertauscht und man müsste irgendwelche Integralkonvergenzsätze anwenden. Den Schritt hast du ja aber nicht, deswegen ist alles okay.

Grüße,
Stefan

Bezug
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