Vertauschen von Grenzwerten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 27.11.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen, dass wenn ich eine Reihe über intbare Fkt. habe
hier: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_i [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\integral{|f_i| dx}<\infty, [/mm] dass dann die Reihe fast überall konvergiert und ich Integral und Summe vertauschen darf.
Meine Idee ist es nun, da ich ja den Betrag betrachten muss, mich auf den positiven Teil bzw negativen Teil der Fkt zu beschränken.
Die Reihe ist demnach entweder monoton wachsend oder fallend.
Folgt nun aus [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_i [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\integral{|f_i| dx}<\infty [/mm] auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_i [/mm] < [mm] \infty?
[/mm]
Dann hätte ich schonmal die Konvergenz nach dem Satz der monotonen Konvergenz.
Wie mache ich nun weiter? Wie kann ich zeigen dass ich die Grenzwerte vertauschen darf? Bisweilen ging das ja nur bei gleichmäßiger Konvergenz.
Vielen Dank im Voraus
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Hallo hilbert,
> Ich soll zeigen, dass wenn ich eine Reihe über intbare Fkt. habe
>
> hier: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}f_i[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\integral{|f_i| dx}<\infty,[/mm] dass dann
> die Reihe fast überall konvergiert und ich Integral und
> Summe vertauschen darf.
>
> Meine Idee ist es nun, da ich ja den Betrag betrachten
> muss, mich auf den positiven Teil bzw negativen Teil der Fkt zu beschränken.
Das ist eine gute Idee, aber sie bedarf einer präzisieren Ausführung.
Es ist [mm] f_i=f_i^+-f_i^- [/mm] mit [mm] f_i^+(x):=\max\{0, f(x)\} [/mm] und [mm] f_i^-(x):=\max\{0,-f(x)\}.
[/mm]
Setze [mm] a_n:=\sum_{i=1}^n f_i^+ [/mm] und [mm] b_n:=\sum_{i=1}^nf_i^-.
[/mm]
Die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] sind monoton wachsende Folgen in [mm] L(\IR). [/mm]
Um den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden zu können, ist zu zeigen
[mm] \int a_n [/mm] dx, [mm] \int b_n dx\leq [/mm] C
für ein [mm] C\in\IR [/mm] und alle [mm] n\in\IN. [/mm] Es ist nun nicht schwer zu zeigen, dass dieses C durch [mm] \sum_{i=1}^\infty\int|f_i|dx [/mm] gegeben ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 27.11.2011 | | Autor: | hilbert |
Also fange ich jetzt z.b. mit [mm] a_n [/mm] an:
[mm] \integral{a_n dx} [/mm] = [mm] \integral{\summe_{i=1}^{n}f_i^{+} dx}
[/mm]
leider bin ich mir gerade nicht sicher, da ich meine Unterlagen nicht hier habe, aber ich glaube wenn ich keinen Vorzeichenwechsel habe, darf ich Integral und Summe auf jeden Fall vertauschen oder?
das wäre dann
[mm] \summe_{i=1}^{n}\integral{f_i^{+} dx} <\summe_{i=1}^{n}\integral{|f_i| dx} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Richtig so?
Für [mm] b_n [/mm] liefe das analog.
Und jetzt bin ich fast fertig richtig?^^
Vielen Dank schonmal, ist gerade schon etwas spät. Sehe nicht wie ich weiterkomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also fange ich jetzt z.b. mit [mm]a_n[/mm] an:
>
> [mm]\integral{a_n dx}[/mm] = [mm]\integral{\summe_{i=1}^{n}f_i^{+} dx}[/mm]
>
> leider bin ich mir gerade nicht sicher, da ich meine
> Unterlagen nicht hier habe, aber ich glaube wenn ich keinen
> Vorzeichenwechsel habe, darf ich Integral und Summe auf
> jeden Fall vertauschen oder?
Das ist doch hier trivial. Obige Summen sind endliche Summen.
>
> das wäre dann
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\integral{f_i^{+} dx} <\summe_{i=1}^{n}\integral{|f_i| dx}[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm] Richtig so?
Na ja, das < ist fraglich !, Weil [mm] f_i^{+} \le |f_i|, [/mm] folgt:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\integral{f_i^{+} dx} \le \summe_{i=1}^{n}\integral{|f_i| dx}[/mm]
Also:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\integral{f_i^{+} dx} \le \summe_{i=1}^{\infty}\integral{|f_i| dx}[/mm] < [mm] \infty [/mm] für jedes n
FRED
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> Für [mm]b_n[/mm] liefe das analog.
>
> Und jetzt bin ich fast fertig richtig?^^
>
> Vielen Dank schonmal, ist gerade schon etwas spät. Sehe
> nicht wie ich weiterkomme.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay das habe ich verstanden.
Bin ich damit jetzt schon fertig? Was genau bringt mir diese Unterteilung in + und - genau? Sehe im Moment nur die Konvergenz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 30.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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