Verteilung, Bedingte WS , ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Fr 24.05.2013 | | Autor: | sissile |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien X,Y unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in \IZ_+. Es gelte
P(X=k| X+Y=n)= \frac{1}{n+1} für alle 0 \le k \le n
Bestimmen Sie die Verteilung von X (und also auch Y) |
Hallo
Gesucht P(X=k)=?, P(Y=k)=? wobei k \in \IZ_+
$\frac{1}{n+1} = P(X=k | X+Y=n) = \frac{P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})}{P(\{X+Y=n\})$=(*)
Nun: P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})= P(Y=n-k \cap X=k )= P(Y=n-k)*P(X=k)
wobei das zweite Gleichheitszeichen die Unabhängigkeit ist.
P(\{X+Y=n\} = \sum_{k=0}^n P(X+Y=n, X=k)= \sum_{k=0}^n P(Y=n-k,X=k)=\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)
(*)$=\frac{P(Y=n-k)*P(X=k)}{\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)}$
Was mache ich alles falsch ?
Hatte auch noch andere Ideen, aber die haben sich im Wald verlaufen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:41 Sa 25.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Seien X,Y unabhängige, identisch verteilte
> Zufallsvariablen mit Werten in [mm]\IZ_+.[/mm] Es gelte
> P(X=k| X+Y=n)= [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] für alle 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
> Bestimmen Sie die Verteilung von X (und also auch Y)
> Gesucht P(X=k)=?, P(Y=k)=? wobei k [mm]\in \IZ_+[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{n+1} = P(X=k | X+Y=n) = \frac{P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})}{P(\{X+Y=n\})[/mm]=(*)
>
> Nun: [mm]P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})=[/mm] P(Y=n-k [mm]\cap[/mm] X=k )=
> P(Y=n-k)*P(X=k)
> wobei das zweite Gleichheitszeichen die Unabhängigkeit
> ist.
>
> [mm]P(\{X+Y=n\}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] P(X+Y=n, X=k)= [mm]\sum_{k=0}^n P(Y=n-k,X=k)=\sum_{k=0}^n[/mm]
> P(Y=n-k) P(X=k)
>
> (*)[mm]=\frac{P(Y=n-k)*P(X=k)}{\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)}[/mm]
>
> Was mache ich alles falsch ?
Gar nichts.
(Du könntest noch ins Spiel bringen, dass X und Y identisch verteilt sind.)
Nach stundenlangen Versuchen bin ich mit folgendem Ansatz zu einer Lösung gekommen:
Idee ist, für beliebiges [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ und $P(X=k+1)$ miteinander in Beziehung zu setzen, um $P(X=k+1)$ aus $P(X=k)$ zu berechnen und so durch eine iterierte Anwendung zu einer Formel für $P(X=k)$ in Abhängigkeit von $P(X=0)$ zu gelangen.
Starte mit
[mm] $P(X=k)=\sum_{m=0}^\infty [/mm] P(X=k, [mm] Y=m)=P(X=k,Y=0)+\sum_{m=1}^\infty P(X=k,Y=m)=P(X=k)\underbrace{P(Y=0)}_{=P(X=0)}+\sum_{n=k+1}^\infty [/mm] P(X=k,X+Y=n)$
sowie
[mm] $P(X=k+1)=\sum_{m=0}^\infty P(X=k+1,Y=m)=\sum_{n=k+1}^\infty [/mm] P(X=k+1,X+Y=n)$.
Zeige
$P(X=k,X+Y=n)=P(X=k+1,X+Y=n)$
für alle [mm] $n\ge [/mm] k+1$.
Setze dann alles von mir genannte zusammen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Di 28.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
ich hätte eine Fragen dazu:
-) Wieso ist P(Y=0)=P(X=0) ?
-) SInd die Beistriche bei dir die Bedingtheite? Bzw. wieso kommen die da gar nicht vor?
> Zeige
> $ P(X=k,X+Y=n)=P(X=k+1,X+Y=n) $
> für alle $ [mm] n\ge [/mm] k+1 $.
Weil wenn das Bedingheiten wären, würde dies aus der Angabe folgen?
Die verwendest du aber gar nicht?
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Hiho,
>  Wieso ist P(Y=0)=P(X=0) ?
X und Y sind identisch verteilt. Das heißt?
> SInd die Beistriche bei dir die Bedingtheite? Bzw. wieso kommen die da gar nicht vor?
Komms sind eine Kurzschreibweise für "und" bzw "geschnitten".
P(X=k,X+Y=n) heißt also [mm] $P\left(\{X=k\} \cap \{X+Y = n\}\right)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Di 28.05.2013 | | Autor: | sissile |
Du hast mich auf eine Idee gebracht:
(Vlt. dasselbe wie du geschrieben hast/ aber ich bin damit nicht ganz zurrecht gekommen)
1= [mm] \frac{1/(n+1)}{1/(n+1)}=\frac{P(X_1=n | X_1 + X_2 =n }{P(X_1=n-1|X_1 +X_2 =n)} [/mm] = [mm] \frac{P(X_1=n \cap X_2=0}{P(X_1=n-1 \cap X_2=1} [/mm] = [mm] \frac{P(X_1 =n) *P(X_2=0)}{P(X_1 =n+1) *P(X_2=1)}
[/mm]
<=>
[mm] P(X_1= [/mm] n) [mm] =\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0} [/mm] * [mm] P(X_1=n-1)= (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)
[/mm]
Es muss ja: [mm] \sum_{n\ge0} P(X_1=n [/mm] )=1 sein
[mm] \sum_{n\ge0} P(X_1=n [/mm] )=1 = [mm] \sum_{n\ge0} (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)
[/mm]
Wenn ich ein /n! hätte dann würde ich auf Poisson verteilung kommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 28.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Du hast mich auf eine Idee gebracht:
> (Vlt. dasselbe wie du geschrieben hast/ aber ich bin damit
> nicht ganz zurrecht gekommen)
>
> 1= [mm]\frac{1/(n+1)}{1/(n+1)}=\frac{P(X_1=n | X_1 + X_2 =n }{P(X_1=n-1|X_1 +X_2 =n)}[/mm]
> = [mm]\frac{P(X_1=n \cap X_2=0}{P(X_1=n-1 \cap X_2=1}[/mm] =
> [mm]\frac{P(X_1 =n) *P(X_2=0)}{P(X_1 =n+1) *P(X_2=1)}[/mm]
> <=>
> [mm]P(X_1=[/mm] n) [mm]=\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0}[/mm] * [mm]P(X_1=n-1)= (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)[/mm]
>
> Es muss ja: [mm]\sum_{n\ge0} P(X_1=n[/mm] )=1 sein
> [mm]\sum_{n\ge0} P(X_1=n[/mm] )=1 = [mm]\sum_{n\ge0} (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Auch dein Weg führt zum Ziel!
Setze [mm] $\lambda:=P(X=0)$ [/mm] und [mm] $\mu:=\frac{P(X=1)}{P(X=0)}$.
[/mm]
Also
[mm] $1=\sum_{n\ge0}\mu^n\lambda$.
[/mm]
Nun das [mm] $\lambda$ [/mm] vor die Reihe ziehen und du hast eine geometrische Reihe. Für deren Grenzwert gibt es eine Formel...
Drücke dann [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\lambda$ [/mm] aus und du hast nach deinen Überlegungen mit
[mm] $P(X=n)=\mu^n\lambda$
[/mm]
die Verteilung von $X$ (in Abhängigkeit von [mm] $\lambda=P(X=0)$).
[/mm]
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