Verteilung Erdbeben bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Die Anzahl der Erdbeben der Stärke 7 oder mehr in Südamerika bzw. Asien im Jahr 2011 heiße S bzw. A.
Wir nehmen an, dass S und A unabhängig voneinander und jeweils poissonverteilt sind mit Parametern [mm] \lambda_S [/mm] bzw. [mm] \lambda_A.
[/mm]
Bestimmen Sie die Verteilung von G:=S+A. |
Hallo Leute,
also was wir hierbei bereits wissen ist, dass gilt:
[mm] P[S=k]=e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}} [/mm] für alle [mm] k\in{\IN_0}
[/mm]
[mm] P[A=h]=e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{h}}{h!}} [/mm] für alle [mm] h\in{\IN_0}
[/mm]
Soweit so gut! Um nun die Verteilung von G zu bestimmen, müssen wir ja lediglich P[G=u] für alle [mm] u\in{\IN_0} [/mm] berechnen, wobei u=k+h.
Da hab ich nun allerdings so meine Probleme, denn ich weiß nicht so wirklich wie ich das korrekt aufschreiben soll.
Meine Überlegung war die Folgende:
[mm] P[G=u]=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} P[\{S=k\}\cap{\{A=h\}}]=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} P[S=k]\cdot{P[A=h]}=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}}\cdot{e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{h}}{h!}}}
[/mm]
Ich bin mir beim ersten Gleichheitszeichen nicht sicher, ob ich das schon so hinschreiben darf, aber weiß halt auch nicht wie ich hier noch einen Zwischenschritt einbauen kann. Oder kann ich das womöglich gar nicht ausführlicher aufschreiben??
Wär echt klasse, wenn dazu jemand was sagen könnte und mir vielleicht noch an Tipp weiß wie ich hinten dann weitermachen soll bzw. schöner zusammenfasssen kann!
Herzichen Dank schon mal.
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Hallo!
> Die Anzahl der Erdbeben der Stärke 7 oder mehr in
> Südamerika bzw. Asien im Jahr 2011 heiße S bzw. A.
> Wir nehmen an, dass S und A unabhängig voneinander und
> jeweils poissonverteilt sind mit Parametern [mm]\lambda_S[/mm] bzw.
> [mm]\lambda_A.[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Verteilung von G:=S+A.
> Hallo Leute,
> also was wir hierbei bereits wissen ist, dass gilt:
>
> [mm]P[S=k]=e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}}[/mm]
> für alle [mm]k\in{\IN_0}[/mm]
>
> [mm]P[A=h]=e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{h}}{h!}}[/mm]
> für alle [mm]h\in{\IN_0}[/mm]
>
> Soweit so gut! Um nun die Verteilung von G zu bestimmen,
> müssen wir ja lediglich P[G=u] für alle [mm]u\in{\IN_0}[/mm]
> berechnen, wobei u=k+h.
Genau. Es ist übrigens auch für Leser sehr viel netter, wenn du schreibst:
P[S=s] oder P[A = a],
anstatt soviele neue, nicht zuzuordnende Variablen einzuführen. 
> Da hab ich nun allerdings so meine Probleme, denn ich
> weiß nicht so wirklich wie ich das korrekt aufschreiben
> soll.
> Meine Überlegung war die Folgende:
>
> [mm]P[G=u]=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} P[\{S=k\}\cap{\{A=h\}}]=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} P[S=k]\cdot{P[A=h]}=\sum_{k,h\in{\IN_0};u=k+h} e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}}\cdot{e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{h}}{h!}}}[/mm]
Die Idee ist natürlich richtig, allerdings ist nicht u = k+h, sondern G = S+A. Beginne so:
$P[G = u] = P[S+A = u] = [mm] \sum_{k=0}^{u}P[S [/mm] = k, A = u - k]$
Ist dir diese Umformung klar? Nun bist du dran. Nutze die stochastische Unabhängigkeit von S und A aus, setze dann die Zähldichten ein.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay vielen Dank. Das mit den Variablen werd ich mir merken. Sorry für die unnötige Verwirrung :).
Also dann gilt:
[mm] P[G=u]=P[S+A=u]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k,A=u-k]=\sum_{k=0}^{u}P[\{S=k\}\cap{\{A=u-k\}}]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k]\cdot{P[A = u - k]}=\sum_{k=0}^{u}e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}}\cdot{e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{(u-k)}}{(u-k)!}}}
[/mm]
Wie komm ich darauf, dass [mm] P[S+A=u]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k,A=u-k] [/mm] ist?
Kann ich das irgendwie mit der [mm] \sigma-\text{Additivität} [/mm] begründen oder komm ich da einfach durch Überlegung drauf??
Dann auch nochmal die Frage, ob ich das Ganze hinten etwas vereinfachen kann!
Vielen Dank.
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Hallo!
> Okay vielen Dank. Das mit den Variablen werd ich mir
> merken. Sorry für die unnötige Verwirrung :).
>
> Also dann gilt:
>
> [mm]P[G=u]=P[S+A=u]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k,A=u-k]=\sum_{k=0}^{u}P[\{S=k\}\cap{\{A=u-k\}}]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k]\cdot{P[A = u - k]}=\sum_{k=0}^{u}e^{-\lambda_S}\cdot{\bruch{(\lambda_S)^{k}}{k!}}\cdot{e^{-\lambda_A}\cdot{\bruch{(\lambda_A)^{(u-k)}}{(u-k)!}}}[/mm]
Bis jetzt ist alles richtig.
Das kannst du nun aber noch wesentlich vereinfachen. Hier eine Anleitung:
- Ziehe zunächst die von k unabhängigen Faktoren [mm] e^{-\lambda_{A}} [/mm] und [mm] e^{-\lambda_{S}} [/mm] aus der Summe.
- Schreibe dann [mm] \frac{1}{k!*(u-k)!} [/mm] = [mm] \frac{1}{u!}*\vektor{u\\k}, [/mm] und ziehe den Faktor [mm] \frac{1}{u!} [/mm] ebenfalls aus der Summe.
- Die restlichen Terme in der Summe haben die Gestalt des binomischen Lehrsatzes!
Ziel sollte übrigens eine Poisson-Verteilung zum Parameter [mm] (\lambda_{S}+\lambda_{A}) [/mm] sein!
> Wie komm ich darauf, dass
> [mm]P[S+A=u]=\sum_{k=0}^{u}P[S=k,A=u-k][/mm] ist?
> Kann ich das irgendwie mit der [mm]\sigma-\text{Additivität}[/mm]
> begründen oder komm ich da einfach durch Überlegung
> drauf??
Es ist mehr ein logisches Argument, hängt aber auch damit zusammen.
Es geht um Folgendes: Wegen [mm] S,A\ge [/mm] 0 (Die Poisson-Verteilung beginnt bei 0), und S bzw. A ganzzahlig, kann man die Möglichkeiten direkt aufschreiben, die es gibt, sodass $S+A = u$.
Nämlich:
S = 0, A = u
S = 1, A = u-1
...
S = u, A = 0.
So kommt man also auf:
$P(S+A = u) = [mm] P\left(\bigcup_{k=0}^{u}\{S = k, A = u-k\}\right)$
[/mm]
und nun kannst du die [mm] \sigma-Additivtät [/mm] anwenden. Das Argument gilt aber trotzdem auch für Integrale (warum: da muss ich leider gerade passen).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar! Herzlichen Dank nochmal und schönes WE!!
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