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| Aufgabe | Eine Straßenlaterne der Höhe a>0 strahlt gleichmäßig in alle Richtungen, die irgendwann die Straße treffen. Xbezeichne den Auftreffpunkt eines Lichtstrahls auf der Straße. Bestimmen Sie die Verteilung von X.
(Hinweis: Nehmen Sie die Lichquelle als punktförmig an und betrachten Sie das Problem als eindimensional.) |
Hallo!
Versuche gerade diese wahrscheinlich sehr einfach Aufgabe, aber habe ein paar Probleme mir das vorzustellen:
Wenn ich jetzt die Lichtquelle als punktförmig ansehe und eindimensional betrachte, dann würden doch die meisten Lichtstrahlen in einem bestimmten Abstand von der Laterne auftreffen? Versuche es mal zu skizzieren mit Punkten als X fü Auftreffpunkte:
(Laterne) . . ............ . . . . .
Würde es sich dann nicht um eine Gammaverteilung handeln, weil ja in unmittelbarer Nähe wenig Auftreffpunkte beleuchtet werden, dann ziemlich viele Punkte getroffen werden und in weiterer Entfernung immer weniger getroffen werden.
Hmmm...kann man sich das so vorstellen? Und handelt es sich wirklich um eine Gammaverteilung? Und wie bringt man hier die Höhe a mit ein?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
[Dateianhang nicht öffentlich]
in den Bereich von x bis [mm] x+\Delta [/mm] x fällt derjenige Anteil des gesamten Lichtes, der dem Anteil des Winkels [mm] \Delta\varphi [/mm] am Gesamtwinkel entspricht, weil die Lampe nach allen Seiten gleichmäßig strahlt. Aus tan [mm] \varphi [/mm] = x/a ergibt sich dann (nach einiger Rechnung) die (noch unnormierte) Verteilungsfunktion f(x) = [mm] \bruch{a}{x^2+a^2}
[/mm]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi sax,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> in den Bereich von x bis [mm]x+\Delta[/mm] x fällt derjenige Anteil
> des gesamten Lichtes, der dem Anteil des Winkels
> [mm]\Delta\varphi[/mm] am Gesamtwinkel entspricht, weil die Lampe
> nach allen Seiten gleichmäßig strahlt. Aus tan [mm]\varphi[/mm] =
> x/a ergibt sich dann (nach einiger Rechnung) die (noch
> unnormierte) Verteilungsfunktion f(x) = [mm]\bruch{a}{x^2+a^2}[/mm]
>
> Gruß Sax.
Deine Erklärung habe ich soweit verstanden. Die eindimensionale Betrachtung findet quasi auf der x-Achse statt oder? Ich verstehe leider nicht so recht, wie man jetzt rechnen soll? hmmm...ich dachte man muss jetzt unter den verschiedenen Verteilungen auswählen, welche Verteilung vorliegt?? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Und was meinst du mit unnormierter Verteilung? sorry bin noch was ungeschickt mit den Begriffen :-/
Über eine Erklärung wäre ich sehr dankbar 
Grüße
Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wie diese Verteilung heißt kann ich dir leider nicht sage, ich lass die Frage deshalb mal halb offen.
Mit normiert ist gemeint, dass noch der Faktor [mm] 1/\pi [/mm] bei f fehlt, weil nur [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = 1 ergibt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo sax,
ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe und wollte mal fragen, ob du mir vielleicht nochmal genau schildern kannst, wie du zunächst vorgehst. Warum betrachtest du zunächst tan. Um was heraus zu kriegen?
Sorry bin leider ziemlich ratlos :-( Die geometrische Betrachtung habe ich verstanden, aber was muss muss jetzt konkret ausgerechnet werden.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Beste Grüße
LuisA44
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
etwas ausführlicher mit den Beispielzahlen aus meiner Skizze :
Nenne x = 3 und [mm] x+\Delta [/mm] x = 5.
Dann ist offenbar tan [mm] \varphi [/mm] = 3/a und tan [mm] (\varphi [/mm] + [mm] \Delta\varphi [/mm] ) = 5/a , also wird [mm] \Delta\varphi [/mm] = arctan (5/a) - arctan (3/a), das lässt sich nun brutal umschreiben zu [mm] \Delta\varphi [/mm] = [arctan [mm] (x/a)]_3^5 [/mm] = [mm] \integral_{3}^{5}{(arctan(x/a))' dx}. [/mm] Das ergibt die angegebene Dichtefunktion f.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Verteilung nennt sich Cauchy-Verteilung s. auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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