Verteilung der Summe < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Fr 14.12.2012 | | Autor: | GeMir |
Um zu zeigen, dass die Normalverteilung faltungsstabil ist, verwendet man die Faltungsformel [mm] $$f_{X_1+X_2}(z) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)dt}$$
[/mm]
Betrachtet man die Verteilung der Summe [mm] $X_1+X_2$ [/mm] wobei [mm] $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$ [/mm] und [mm] $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$ [/mm] so erhält man:
[mm] f_{X_1+X_2}(z) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma^2_1}\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{(z-t-\mu_2)^2}{2\sigma^2_2}\bigg)dt}
[/mm]
Meine Frage wäre: wie kommt man von dem obenstehenden Integral zu:
[mm] f_{X_1+X_2}(z) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\Bigg(-\frac{1}{2}\bigg(\frac{t}{\sigma_1}\bigg)^2\Bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\Bigg(
-\frac{1}{2}\bigg( \frac{z-(\mu_1+\mu_2) - t}{\sigma_2} \bigg)^2 \Bigg)dt}
[/mm]
Die Umformung sollte angeblich leicht sein, ich komme aber irgendwie überhaupt nicht darauf :/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Um zu zeigen, dass die Normalverteilung faltungsstabil ist,
> verwendet man die Faltungsformel [mm]f_{X_1+X_2}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)dt}[/mm]
>
> Betrachtet man die Verteilung der Summe [mm]X_1+X_2[/mm] wobei [mm]X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2_1)[/mm]
> und [mm]X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)[/mm] so erhält man:
>
> [mm]f_{X_1+X_2}(z)[/mm] =
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma^2_1}\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{(z-t-\mu_2)^2}{2\sigma^2_2}\bigg)dt}[/mm]
>
> Meine Frage wäre: wie kommt man von dem obenstehenden
> Integral zu:
>
> [mm]f_{X_1+X_2}(z)[/mm] =
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\Bigg(-\frac{1}{2}\bigg(\frac{t}{\sigma_1}\bigg)^2\Bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\Bigg(
-\frac{1}{2}\bigg( \frac{z-(\mu_1+\mu_2) - t}{\sigma_2} \bigg)^2 \Bigg)dt}[/mm]
>
> Die Umformung sollte angeblich leicht sein, ich komme aber
> irgendwie überhaupt nicht darauf :/
wenn man in
[mm] $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma^2_1}\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{(z-t-\mu_2)^2}{2\sigma^2_2}\bigg)dt}$$
[/mm]
mal [mm] $r:=t-\mu_1$ ($\Rightarrow dr=dt\,$ [/mm] sowie [mm] "$t=\infty$" $\gdw$ "$r=\infty$" [/mm] und [mm] "$t=-\infty$" $\gdw$ "$r=-\infty$") [/mm] substituiert, hat man das Gewünschte:
[mm] $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma^2_1}\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{(z-t-\mu_2)^2}{2\sigma^2_2}\bigg)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{r^2}{2\sigma^2_1}\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{(z-\overbrace{r}^{=(t-\mu_1)}-\mu_1-\mu_2)^2}{2\sigma^2_2}\bigg)dr}$$
[/mm]
[mm] $$=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\bigg(-\frac{1}{2}(r/\sigma_1)^2\bigg)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\bigg(-\frac{1}{2}\left(\frac{z-(\mu_1\;+\;\mu_2)-r}{\sigma_2}\right)^2\bigg)dr}$$
[/mm]
Vermutlich hat sich da also ein Verschreiber bei Dir eingeschlichen (oder
ich habe mich irgendwo verrechnet, ich rechne das gleich nochmal nach...).
Edit: Habe meinen Verschreiber korrigiert...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Fr 14.12.2012 | | Autor: | GeMir |
Die obige Rechnung habe ich auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite gefunden.
Nach Substitution sieht's zwar meiner Meinung nach nicht aus, aber ich versuche sie anzuwenden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Fr 14.12.2012 | | Autor: | GeMir |
Vielen Dank! :)
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