Verteilung des Maximums < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 Fr 15.05.2009 | | Autor: | kaleu74 |
Hallo alle zusammen, seit einiger Zeit hänge ich an folgendem Problem, bei dem ich irgendwie nen Hänger habe und nicht weiterkomme.
Sei [mm] X [/mm] eine reelle Zufallsvariable auf einem WR [mm](\Omega,F,P)[/mm] und [mm]X^{ +}:=max(0,X)[/mm] eine weitere. Wie bestimmt man nun die Verteilung von [mm]X^{ +}[/mm] ?
es gilt: [mm]X^{ +}=X[/mm] für [mm]X>0[/mm] und [mm]X^{ +}=0[/mm] für [mm]X\le0[/mm]
Wie kommt man aber nun an die Verteilung?
Ich habe mir zunächst überlegt: [mm] X^{ +}=0\cdot\mathds{1}_{(-\infty,0]}(X)+X\cdot\mathds{1}_{(0,\infty)}(X)=X\cdot\mathds{1}_{(0,\infty)}(X)[/mm]
Dies müßte ja eine Borel-messbare Funktion sein, also kann man setzen:
[mm] X^{ +}=g(X)\ mit\ g(X):=max(0,X)[/mm]
anschließend habe ich folgenden Zusammenhang auf gestellt von dem ich nicht sicher bin, ob er richtig ist:
[mm]P(X^{ +}\le x)=P(0\cdot\mathds{1}_{(-\infty,0]}(X)+X\cdot\mathds{1}_{(0,\infty)}(X)\le x)=P(X\cdot\mathds{1}_{(0,\infty)}(X)\le x)[/mm]
also hab ich versucht aufzulösen in:
[mm]P(X^{ +}\le x)=P(X\le 0)\cdot \mathds{1}_{(-\infty,0]}(x)+P(X\le x)\cdot \mathds{1}_{(0,\infty)}(x)[/mm]
Irgendwie ist mir das aber noch nicht ganz verständlich, speziell der Fall [mm]x\le 0[/mm].Ist [mm]x<0[/mm] dann ist doch die WS[mm]P(X^{ +}<0)=0[/mm]. Da ja [mm]X^{ +}[/mm] nur nichtnegativen Träger hat gilt doch auch [mm]P(X^{ +}\le 0)=P(X\le 0)=F(0)[/mm]. Kann mir dies jemand erläutern? Ist das ein Fall bei dem die ZV [mm]X^{ +}[/mm] eine Verteilung aus atomaren und stetigen Maß ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 15.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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