Verteilung des Schätzers < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mi 28.11.2012 | | Autor: | GeMir |
Bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen werden u.a. Erwartungswert mit dem Mittelwert [mm] \bar{X} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_i} [/mm] und die Varianz mit empirischer Varianz [mm] S^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \bar{X})^2} [/mm] geschätzt. Dabei wird in der Regel der Schätzer Standardisiert: statt [mm] \bar{X} [/mm] verwendet man z.B. bei bekannter Varianz [mm] \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}. [/mm] Man sagt dabei, dass der standardisierte Schätzer standardnormalverteilt ist. Ist jedoch die Varianz unbekannt, so behauptet man [mm] \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{S} \sim t_{n-1}. [/mm]
Meine Frage lautet: Wie bestimmt man die Verteilung des Schätzers?
In der Literatur und im Internet wird es leider immer nur als Tatsache angegeben :/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Do 29.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> Bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen werden u.a.
> Erwartungswert mit dem Mittelwert [mm]\bar{X}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_i}[/mm] und die Varianz mit
> empirischer Varianz [mm]S^2[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \bar{X})^2}[/mm]
> geschätzt. Dabei wird in der Regel der Schätzer
> Standardisiert: statt [mm]\bar{X}[/mm] verwendet man z.B. bei
> bekannter Varianz [mm]\sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}.[/mm]
> Man sagt dabei, dass der standardisierte Schätzer
> standardnormalverteilt ist. Ist jedoch die Varianz
> unbekannt, so behauptet man
> [mm]\sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{S} \sim t_{n-1}.[/mm]
>
> Meine Frage lautet: Wie bestimmt man die Verteilung des
> Schätzers?
Moin, dass der Quotient $ [mm] \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{S}$ [/mm] *immer* t-verteilt ist, ist nicht korrekt. Das trifft nur zu, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist. Ansonsten wird vielfach unterstellt, dass $ [mm] \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$ [/mm] approximativ standardnormverteilt ist, was mit dem Zentralen Grenzwertsatz begruendet wird. Das wird dann auch fuer $ [mm] \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}-\mu}{S}$ [/mm] unterstellt, wenngleich hier die Guete der Approximation i.a. schlechter ist.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 29.11.2012 | | Autor: | GeMir |
Ja, klar, dass es nur für die normalverteilte Grundgesamtheit gilt, aber meine Frage bezog sich eigentlich auf diesen feinen Unterschied N(0,1) und [mm] t_{n-1}. [/mm] Ich würde sehr gern die Rechnung sehen, mit der die Verteilungen hergeleitet werden und genau von der Rechnung fehlt in der Literatur jede Spur.
Und bei der Konstruktion der Konfidenzintervalle für [mm] \sigma^2 [/mm] kommt ja eine weitere Verteilung ins Spiel: [mm] \chi^2_{n-1}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Do 29.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ja, klar, dass es nur für die normalverteilte
> Grundgesamtheit gilt, aber meine Frage bezog sich
> eigentlich auf diesen feinen Unterschied N(0,1) und
> [mm]t_{n-1}.[/mm] Ich würde sehr gern die Rechnung sehen, mit der
> die Verteilungen hergeleitet werden und genau von der
> Rechnung fehlt in der Literatur jede Spur.
Seite 249-250 hier:
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3. edition}
}
>
> Und bei der Konstruktion der Konfidenzintervalle für
> [mm]\sigma^2[/mm] kommt ja eine weitere Verteilung ins Spiel:
> [mm]\chi^2_{n-1}[/mm]
Ist das eine Frage?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Do 29.11.2012 | | Autor: | GeMir |
> Introduction to the Theory of Statistics
![[]](/images/popup.gif) Hier also. Die Gleichungen, die auf den Seiten zu finden sind und die man ruhig zitieren könnte, bringen mich leider nicht weiter.
> Ist das eine Frage?
Dies ist eine Behauptung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 01.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
