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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:10 So 06.05.2007 | | Autor: | koltes |
Hallo,
es geht um folgendes Verteilungsproblem:
Gegeben seien $r$ "Bälle" und $n$ "Fächer" mit $r [mm] \leq [/mm] n$ sowie des Weiteren eine Menge $W$ von Gewichten mit $W := [mm] \{1, ..., \omega\}$ [/mm] und $W [mm] \subset \mathbb{N}$.
[/mm]
Jedem der $r$ Bälle ist ein Gewicht zugeordnet. Die Funktion $w : W [mm] \rightarrow \mathbb{N}$ [/mm] ist bekannt und liefert zu jedem möglichen Gewicht die Anzahl der Bälle, die dieses Gewicht besitzen (also [mm] $\sum_{i=1}^{\omega}{w(i)} [/mm] = r$). Es ist dabei möglich, dass für manche Gewichte $w(i) = 0$ gilt.
Die $r$ Bälle werden nun zufällig auf die $n$ Fächer verteilt (soll heißen, bei jedem "Ballwurf" besitzt jedes der Fächer die Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] getroffen zu werden).
Gesucht sind nun die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P_{\alpha}$, [/mm] dass die Summe der Gewichte der Bälle in einem beliebigen Fach nach Durchführung der $r$ Würfe genau [mm] $\alpha$ [/mm] beträgt. (Bzw. im konkreten Fall der Erwartungswert für die Anzahl der Fächer, die nach den Würfen ein Ballgewicht von [mm] $\alpha$ [/mm] enthalten, aber vermutlich wird das am Kernproblem wenig ändern.)
-- Ergänzung: Es kann angenommen werden, dass [mm] $\alpha \leq \omega$.
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das hilft, aber die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Fach nach den Würfen belegt ist (also ein Ballgewicht $> 0$ enthält), ergibt sich mich Hilfe des Inklusion-Exklusion-Prinzips als [mm] $P_{>0} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{r}{(-1)^{k+1} \vektor{r \\ k} \frac{1}{N^k}} [/mm] = 1 - [mm] \left(1-\frac{1}{N}\right)^r$.
[/mm]
Hat jemand eine Idee zur Lösung dieses Problems?
Vielen Dank im Voraus und beste Grüße,
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Mo 07.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Meines Erachtens muss zunächst einmal untersucht werden, welche Möglichkeiten es überhaupt gibt, [mm] \alpha [/mm] durch Summenbildung der Gewichte darzustellen.
Wenn zum Beispiel [mm] \alpha [/mm] eine ungerade Zahl ist, und die Gewichte haben alle nur gerade Werte, dann wird man daraus niemals eine Summe bilden können, die [mm] \alpha [/mm] ergibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mo 07.05.2007 | | Autor: | koltes |
Hallo,
ich denke, dass es aufgrund der allgemeinen Problemstellung am sinnvollsten ist, zunächst einmal anzunehmen, dass alle Gewichte "vorkommen", da für die konkrete Verteilung ohnehin die Anzahl der Vorkommen jedes Gewichts einfließen muss.
Die Anzahl der Möglichkeiten, [mm] $\alpha$ [/mm] zu Zerlegen, ergeben sich dann (unter der Annahme, dass [mm] $\alpha \leq \omega$) [/mm] als [mm] $\sum_{i=1}^{\alpha}{P_{\alpha,i}}$, [/mm] ist also gleich der Anzahl der möglichen Typen von Permutationen einer Menge mit [mm] $\alpha$ [/mm] Elementen. [mm] $P_{\alpha,i}$ [/mm] ist in diesem Zusammenhang die Partitionszahl von [mm] $\alpha$ [/mm] in $i$ ungeordnete Summanden.
Viele Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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