Verteilung v Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 27.02.2006 | | Autor: | pansen |
Hallo,
ich hab hier die Aufgabe von einer alten Klausur und ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll.
Es sind mehrere Zufallsvariablen [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] gegeben, mit entsprechenden Normalverteilungen. Weiterhin sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen [mm] z_{i} [/mm] gegeben, mit i=1,..,5 .
Alle 8 sind stochastisch unabhängig.
Aus diesen soll ich nun die Verteilung der Zufallsvariablen (falls möglich) für angegeben y Zufallsvariablen berechnen, sowie Varianz und Erwartungswert angeben.
[mm] y_{1}=2+3 \* x_{1}-x_{2}+8\*\bruch{x_{3} - 6}{4}
[/mm]
[mm] y_{2}= \summe_{i=1}^{4}z_{i}
[/mm]
Die Normalverteilungen lauten:
[mm] N_{1}=(3;9) N_{2}=(4;25) N_{3}=(8;4)
[/mm]
Für Ansätze wär ich sehr dankbar.
Gruß, pansen
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Hallo Pansen,
Für die Aufgabe brauchst du zwei Sachen:
1. Wenn [mm]X\sim N(\mu, \sigma^2)[/mm], dann gilt für [mm]Y:=a*X+b[/mm]: [mm]Y\sim N(a+\mu, b^2 \sigma^2)[/mm]
2. Wenn [mm]X\sim N(\mu, \sigma^2)[/mm] und [mm]Y\sim N(\nu, \tau^2)[/mm] und beide unabhängig sind, dann gilt [mm]X+Y\sim N(\mu+\nu, \sigma^2 + \tau^2)[/mm]
Kommst du damit weiter?
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 28.02.2006 | | Autor: | pansen |
Ja, das hilft mir schon deutlich weiter. Lineare Transformation hieß das Zauberwort :)
Bei dem Beispiel von [mm] y_{1}, [/mm] bekomme ich einen Erwartungswert von 7,5 und eine Varianz von 26 raus.
Stimmt das ? Dementsprechend wäre ja die Verteilung [mm] N_{1}(7,5;26).
[/mm]
Bei [mm] y_{2} [/mm] müsste dann ja eigentlich auch wieder eine Standardnormalverteilung [mm] \mathcal{N}(0;1) [/mm] rauskommen ?
Danke für deine Hilfe !
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Ist leider nicht richtig. Bei [mm]Y_2[/mm] addierst du doch 4 normalverteilte Zufallsvariablen auf, also
[mm]Y_2=\sum_{i=1}^{4}Z_4[/mm], wobei wir jetzt erstmal allgemeiner sagen, dass [mm]Z_i \sim N(\mu_i, \sigma^2_i), i=1,\ldots,4[/mm]. Dann gilt, dass [mm]Y_2\sim N(\sum_{i=1}^{4} \mu_i, \sum_{i=1}^{4} \sigma^2_i)[/mm]
Und da hier alle [mm]Z_i[/mm] standardnormalverteilt sind, d.h. [mm]\mu_i=0, \sigma^2_i=1, i=1,\ldots,4[/mm] folgt [mm]Y_2\sim N(0,4)[/mm]
Versuch nochmal [mm]Y_1[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 28.02.2006 | | Autor: | pansen |
Ok, bei [mm] y_{2} [/mm] hast du natürlich recht, hab ich nicht weit genug gedacht.
2. Versuch für [mm] y_{1}: \mathcal{N}(11;90)
[/mm]
Eigentlich müsste das doch nu hinhauen. Wenn nicht, schreib ich dir auf wie ich's falsch rechne.
Gruß pansen
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Mmh, die Varianz gefällt mir noch nicht, Erwartungswert stimmt. Schreib doch mal auf, wie du das rechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mi 01.03.2006 | | Autor: | pansen |
Aaaalso:
[mm] y_{1}=2+3^{2}\*9-1^{2}\*25+8^{2}\*\bruch{2}{4}
[/mm]
Gruß pansen
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[mm]y_{1}=2+3^{2}*9-1^{2}*25+8^{2}*\bruch{2}{4}[/mm]
- Also erstmal was formales: links steht [mm]y_1[/mm], eine Zufallsvariable, rechts die Varianz davon, das ist nicht schön 
(ZVen schreibt man übrigens, zumindest was ich bisher gesehen habe, immer groß!)
- wie kommst du auf die 2/4 ganz hinten?
Ich würde den Term erstmal ein bisschen umformen:
[mm]Y_1=2+3*X_1-X_2+8*\bruch{X_3-6}{4}=[/mm]
[mm]=2+3*X_1-X_2+2*(X_3-6)=3*X_1-X_2+2*X_3-10[/mm]
Jetzt sieht man auch besser, dass [mm]Y_1[/mm] eine Linearkombination von 3 Normalverteilungen ist. Wir wissen, dass [mm]Y_1[/mm] wieder normalverteilt ist, und bestimmen somit mit der Varianz gleich den 2. Parameter der Verteilung:
[mm]Var(Y_1)=Var(3*X_1-X_2+2*X_3-10)\stackrel{Unabhaengigkeit!}{=}Var(3*X_1)+Var(-X_2)+Var(2*X_3-10)=[/mm]
[mm]=3^2*Var(X_1)+(-1)^2*Var(X_2)+2^2*Var(X_3)=9*9+1*25+4*4=[/mm]
[mm]=81+25+16=122[/mm]
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 01.03.2006 | | Autor: | pansen |
Danke für die ausführliche Antwort.
Das erste Problem, was ich bei der ganzen Sache hatte, war das um den Term [mm] (\bruch{x_{3}-6}{4}) [/mm] bei der Aufgabe eigentlich eine Klammer war. Wobei meine Lösungen allesamt trotzdem für die Katz waren.
Bei der Aufgabenstellung wurden die ZVs übrigends klein geschrieben, mit ner Tilde oben drauf. Hab die Tilde hier nicht gefunden, also hab ich sie klein übernommen. Wir haben es allerdings auch anders gelernt.
Also, für [mm] Y_{1} [/mm] mit dem geklammerten Term sollte dann [mm] \mathcal{N}(15;122) [/mm] rauskommen.
Danke nochmal fürs Zeit opfern !!
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Hallo pansen,
... der Erwartungswert ist aber 11 (hattest du vorher schon richtig geschrieben).
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 01.03.2006 | | Autor: | pansen |
Vielen Dank !
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