Verteilung von Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie in den folgenden zwei Modellen jeweils die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen [mm] X_1, X_2 [/mm] und entscheiden Sie, ob diese unabhängig sind.
a) Sei P die Gleichverteilung auf dem Raum [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(a_1 , a_2 , a_3) | a_i \in \{1,2,3\}, a_i \not= a_j, i \not=j \} [/mm] aller Permutationen von 1,2,3. Sei [mm] X_1 [/mm] = [mm] 1I_A [/mm] die Indikatorvariable des Ereignisses [mm] A=\{(a_1 , a_2 , a_3) \in \Omega | a_1 < a_2 \}. [/mm] Sei [mm] X_2 [/mm] = [mm] 1I_B [/mm] die Indikatorvariable zu [mm] B=\{(a_1 , a_2 , a_3) \in \Omega | a_1 < a_3, a_2 < a_3 \}.
[/mm]
b) Beim zweifachen Würfeln sei [mm] X_1 [/mm] die erste Augenzahl und [mm] X_2 [/mm] das Minimum der beiden Augenzahlen. |
Lösungen:
Wir haben hier das Urnenmodell II -> | [mm] \Omega|=3!=6 [/mm] (k=n) und eine Gleichverteilung. Weiter haben wir:
[mm] A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm] und [mm] B=\{(1,2,3), (2,3,1) \}.
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] P(X_1=1)=P(A)=\bruch{3}{6}=P(X_1=0)
[/mm]
[mm] P(X_2=1)=P(B)=\bruch{2}{6}=1-P(X_2=0) [/mm]
und damit erhalten wir:
[mm] P(X_1=1, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=1)
[/mm]
[mm] P(X_1=0, X_2=0)=\bruch{2}{6}=P(X_1=0)*P(X_2=0)
[/mm]
[mm] P(X_1=1, X_2=0)=\bruch{2}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=0)
[/mm]
[mm] P(X_1=0, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=0)*P(X_2=1).
[/mm]
Durch Satz ... sehen wir, dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] stochastisch unabhängig sind.
Hi, Also bei dieser Aufgabe habe ich noch sehr große Verständnisprobleme. Vielleicht hat ja wer Lust, bisschen zu helfen:
1) [mm] A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm] und [mm] B=\{(1,2,3), (2,3,1) \}
[/mm]
Wie kommen diese Ereignissräume zu stande???? Ich weiß, dass es bei der Indikatorfunktion nur die Werte 1 und 0 geben kann. Aber wie das hier entsteht, habe ich leider nicht verstanden.
2) [mm] P(X_1=1)=P(A)=\bruch{3}{6}=P(X_1=0)
[/mm]
Was heißt hier genau [mm] P(X_1=1) [/mm] und [mm] P(X_1=0)??? [/mm] und wieso gilt [mm] P(X_1=1)=P(A)???
[/mm]
Die gleich Frage dann natürlich zu [mm] P(X_2=1)=P(B)=\bruch{2}{6}=1-P(X_2=0).
[/mm]
3) [mm] P(X_1=1, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=1)
[/mm]
Hier habe ich nicht verstanden, wie man [mm] P(X_1=1, X_2=1) [/mm] berechnet????
Würde mich echt freuen, wenn mir jemand diese Sachen erklären könnte.
Grüße
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Hallo jaruleking,
> Bestimmen Sie in den folgenden zwei Modellen jeweils die
> gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen [mm]X_1, X_2[/mm] und
> entscheiden Sie, ob diese unabhängig sind.
>
> a) Sei P die Gleichverteilung auf dem Raum [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{(a_1 , a_2 , a_3) | a_i \in \{1,2,3\}, a_i \not= a_j, i \not=j \}[/mm]
> aller Permutationen von 1,2,3. Sei [mm]X_1[/mm] = [mm]1I_A[/mm] die
> Indikatorvariable des Ereignisses [mm]A=\{(a_1 , a_2 , a_3) \in \Omega | a_1 < a_2 \}.[/mm]
> Sei [mm]X_2[/mm] = [mm]1I_B[/mm] die Indikatorvariable zu [mm]B=\{(a_1 , a_2 , a_3) \in \Omega | a_1 < a_3, a_2 < a_3 \}.[/mm]
>
> b) Beim zweifachen Würfeln sei [mm]X_1[/mm] die erste Augenzahl und
> [mm]X_2[/mm] das Minimum der beiden Augenzahlen.
> Lösungen:
>
> Wir haben hier das Urnenmodell II -> | [mm]\Omega|=3!=6[/mm] (k=n)
> und eine Gleichverteilung. Weiter haben wir:
>
> [mm]A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \}[/mm] und [mm]B=\{(1,2,3), (2,3,1) \}.[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]P(X_1=1)=P(A)=\bruch{3}{6}=P(X_1=0)[/mm]
>
> [mm]P(X_2=1)=P(B)=\bruch{2}{6}=1-P(X_2=0)[/mm]
>
> und damit erhalten wir:
>
> [mm]P(X_1=1, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=1)[/mm]
>
> [mm]P(X_1=0, X_2=0)=\bruch{2}{6}=P(X_1=0)*P(X_2=0)[/mm]
>
> [mm]P(X_1=1, X_2=0)=\bruch{2}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=0)[/mm]
>
> [mm]P(X_1=0, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=0)*P(X_2=1).[/mm]
>
> Durch Satz ... sehen wir, dass [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] stochastisch
> unabhängig sind.
>
>
> Hi, Also bei dieser Aufgabe habe ich noch sehr große
> Verständnisprobleme. Vielleicht hat ja wer Lust, bisschen
> zu helfen:
>
>
> 1) [mm]A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \}[/mm] und [mm]B=\{(1,2,3), (2,3,1) \}[/mm]
Die Menge B muß doch hier so lauten:
[mm]B=\{(1,2,3), (2,\red{1},\red{3}) \}[/mm]
>
> Wie kommen diese Ereignissräume zu stande???? Ich weiß,
> dass es bei der Indikatorfunktion nur die Werte 1 und 0
> geben kann. Aber wie das hier entsteht, habe ich leider
> nicht verstanden.
>
>
Ausgehend von der Menge aller Permutationen von 1,2,3
[mm]M:=\{ \ (1,2,3), \ (1,3,2), \ (2,1,3), \ (2,3,1), \ (3,1,2), \ (3,2,1 \}[/mm]
Im Falle der Menge A, nimmst Du diejenigen Tripel [mm]\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)[/mm]
aus der Menge M heraus für die [mm]a_{1} < a_{2}[/mm] gilt.
Analog im Fall der Menge B:
Hier nimmst Du Dir diejenigen Tripel [mm]\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)[/mm]
aus der Menge M heraus für die [mm]a_{1} < a_{3}[/mm] und [mm]a_{2} < a_{3}[/mm] gilt.
> 2) [mm]P(X_1=1)=P(A)=\bruch{3}{6}=P(X_1=0)[/mm]
>
> Was heißt hier genau [mm]P(X_1=1)[/mm] und [mm]P(X_1=0)???[/mm] und wieso
> gilt [mm]P(X_1=1)=P(A)???[/mm]
Der Indikator 1 bedeutet hier, daß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm] in der entsprechenden Menge liegt.
Demnach bedeutet [mm]X_{1}=1[/mm], daß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm] in der Menge A liegt.
>
> Die gleich Frage dann natürlich zu
> [mm]P(X_2=1)=P(B)=\bruch{2}{6}=1-P(X_2=0).[/mm]
>
>
> 3) [mm]P(X_1=1, X_2=1)=\bruch{1}{6}=P(X_1=1)*P(X_2=1)[/mm]
>
> Hier habe ich nicht verstanden, wie man [mm]P(X_1=1, X_2=1)[/mm]
> berechnet????
>
Hier muß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm]
sowohl in der Menge A als auch in der Menge B liegen.
>
> Würde mich echt freuen, wenn mir jemand diese Sachen
> erklären könnte.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
erstmal danke für deine Antwort. Aber das mit den Tripel habe ich irgendwie immer noch nicht verstanden.
> Ausgehend von der Menge aller Permutationen von 1,2,3
> $ [mm] M:=\{ \ (1,2,3), \ (1,3,2), \ (2,1,3), \ (2,3,1), \ (3,1,2), \ (3,2,1 \} [/mm] $
ok, das habe ich verstanden!
> Im Falle der Menge A, nimmst Du diejenigen Tripel $ [mm] \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right) [/mm] $
> aus der Menge M heraus für die $ [mm] a_{1} [/mm] < [mm] a_{2} [/mm] $ gilt.
Das leider nicht!!
1) steht hier [mm] a_1 [/mm] für 1, [mm] a_2 [/mm] für 2 und [mm] a_3 [/mm] für 3?????
2) Es soll ja [mm] a_{1} [/mm] < [mm] a_{2} [/mm] für A gelten. Woran erkenn ich jetzt in dieser Menge $ [mm] A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm] $,dass das gilt? Das habe ich noch nicht verstanden! Wir haben ja hier eigentlich nur Tripel mit Permutationen, woran kann man jetzt [mm] a_{1} [/mm] < [mm] a_{2} [/mm] erkennen??
> Der Indikator 1 bedeutet hier, daß das Tripel $ [mm] \left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right) [/mm] $ in der entsprechenden Menge liegt.
> Demnach bedeutet $ [mm] X_{1}=1 [/mm] $, daß das Tripel $ [mm] \left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right) [/mm] $ in der Menge A liegt.
3) D.h. [mm] X_{1}=1 [/mm] bedeutet, dass die Zahl 1 in der Menge A liegen muss?? Aber wir haben doch auch in der Menge B 1? Hmmm. vielleicht erstmal diese Fragen klären!!!
Gruß
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Hallo jaruleking,
> Hi MathePower,
>
> erstmal danke für deine Antwort. Aber das mit den Tripel
> habe ich irgendwie immer noch nicht verstanden.
>
> > Ausgehend von der Menge aller Permutationen von 1,2,3
>
> > [mm]M:=\{ \ (1,2,3), \ (1,3,2), \ (2,1,3), \ (2,3,1), \ (3,1,2), \ (3,2,1 \}[/mm]
>
> ok, das habe ich verstanden!
>
> > Im Falle der Menge A, nimmst Du diejenigen Tripel
> [mm]\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)[/mm]
> > aus der Menge M heraus für die [mm]a_{1} < a_{2}[/mm] gilt.
>
> Das leider nicht!!
>
> 1) steht hier [mm]a_1[/mm] für 1, [mm]a_2[/mm] für 2 und [mm]a_3[/mm] für 3?????
Für die Permutation [mm](1,2,3)[/mm] ist das richtig.
Nehmen wir z.B. die Permutation [mm](3,1,2)[/mm] dann ist
[mm]a_{1}=3, \ a_{2}=1, \ a_{3}=2[/mm]
Analog für die anderen Permutationen.
>
> 2) Es soll ja [mm]a_{1}[/mm] < [mm]a_{2}[/mm] für A gelten. Woran erkenn ich
> jetzt in dieser Menge [mm]A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm],dass
> das gilt? Das habe ich noch nicht verstanden! Wir haben ja
> hier eigentlich nur Tripel mit Permutationen, woran kann
> man jetzt [mm]a_{1}[/mm] < [mm]a_{2}[/mm] erkennen??
Das erkennst Du an den ersten beiden Zahlen eine Tripels.
Für die Permutation [mm](1,2,3)[/mm] ist [mm]a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3[/mm]
Für die Permutation [mm](1,3,2)[/mm] ist [mm]a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=2[/mm]
Für die Permutation [mm](2,3,1)[/mm] ist [mm]a_{1}=2,a_{2}=3,a_{3}=1[/mm]
>
> > Der Indikator 1 bedeutet hier, daß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm]
> in der entsprechenden Menge liegt.
>
> > Demnach bedeutet [mm]X_{1}=1 [/mm], daß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm]
> in der Menge A liegt.
>
> 3) D.h. [mm]X_{1}=1[/mm] bedeutet, dass die Zahl 1 in der Menge A
> liegen muss?? Aber wir haben doch auch in der Menge B 1?
Nein, das bedeutet es nicht.
> Hmmm. vielleicht erstmal diese Fragen klären!!!
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hmmm, das erste habe ich jetzt verstanden, das mit dem Indikator leider immer noch nicht :-/
> Demnach bedeutet $ [mm] X_{1}=1 [/mm] $, daß das Tripel $ [mm] \left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right) [/mm] $ in der Menge A liegt.
heißt das sowas [mm] X_1=\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)??? [/mm] Wir hatten $ [mm] A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm] $, was hat denn das mit der Indikatorvaribale [mm] 1I_A [/mm] zu tun`???
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Hallo jaruleking,
> Hmmm, das erste habe ich jetzt verstanden, das mit dem
> Indikator leider immer noch nicht :-/
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> > Demnach bedeutet [mm]X_{1}=1 [/mm], daß das Tripel [mm]\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)[/mm]
> in der Menge A liegt.
>
> heißt das sowas [mm]X_1=\left(a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}\right)???[/mm]
> Wir hatten [mm]A=\{(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) \} [/mm], was hat denn
> das mit der Indikatorvaribale [mm]1I_A[/mm] zu tun'???
Für das Tripel [mm]\left(2,3,1\right)[/mm] nimmt [mm]X_{1}[/mm] den Wert 1 an,
weil [mm]\left(2,3,1\right) \in A[/mm].
Für das Tripel [mm]\left(3,2,1\right)[/mm] nimmt [mm]X_{1}[/mm] den Wert 0 an,
weil [mm]\left(3,2,1\right) \notin A[/mm].
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 26.12.2009 | | Autor: | jaruleking |
Jetzt habe ichs verstanden.
Danke für die Geduld.
Gruß
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