Verteilung von Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 So 29.05.2011 | | Autor: | JayDee |
| Aufgabe | Seien X und Y unabhängige und zum Parameter p geometrisch verteilte Zufallsvariablen.
Es gilt also P(X=k) = P(Y=k) = [mm] (1-p)^{k-1} [/mm] für k=1,2,3...
a) Berechnen Sie die Verteilung von X+Y=Z
b) Zeigen Sie folgende Gleichheit: [mm] \IP [/mm] (X=n+k|X>n) = [mm] \IP [/mm] (X=k) für k,n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo,
ich finde nicht den Ansatz, den man zum Lösen der Aufgabe bräuchte ... vor allem bei Teilaufgabe b) habe ich überhaupt GAR KEINEN Plan ...
Für a) habe ich folgendes:
[mm] \IP [/mm] (X+Y = 2k)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \IP [/mm] (Y=2k-i) * [mm] \IP [/mm] (X=i)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} (1-p)^{(2k-i)-1} [/mm] * p * [mm] (1-p)^{i-1} [/mm] * p
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (1-p) * [mm] p^{2}
[/mm]
= [mm] (1-p)^{2k-2} [/mm] * [mm] p^{2}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus,
Jay
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> Seien X und Y unabhängige und zum Parameter p geometrisch
> verteilte Zufallsvariablen.
> Es gilt also P(X=k) = P(Y=k) = [mm](1-p)^{k-1}[/mm] für k=1,2,3... ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diese Formel ist falsch !
> a) Berechnen Sie die Verteilung von X+Y=Z
> b) Zeigen Sie folgende Gleichheit: [mm]\IP[/mm] (X=n+k|X>n) = [mm]\IP[/mm]
> (X=k) für k,n [mm]\in \IN[/mm]
> Hallo,
> ich finde nicht den Ansatz, den man zum Lösen der Aufgabe
> bräuchte ... vor allem bei Teilaufgabe b) habe ich
> überhaupt GAR KEINEN Plan ...
>
> Für a) habe ich folgendes:
> [mm] \IP [/mm] (X+Y = 2k)
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \IP[/mm] (Y=2k-i) * [mm]\IP[/mm] (X=i)
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} (1-p)^{(2k-i)-1}[/mm] * p * [mm](1-p)^{i-1}[/mm] * p
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (1-p) * [mm]p^{2}[/mm]
> = [mm](1-p)^{2k-2}[/mm] * [mm]p^{2}[/mm]
Hallo Jay,
weshalb denn [mm]\IP(X+Y = 2k)[/mm] berechnen und nicht
gerade [mm]\IP (X+Y = k)[/mm] ?
Die Summe x+y=k kann entstehen, wenn [mm] x\in\{\,1,2,\,....\,,\,k-1\,\}$ [/mm] und
das dazugehörige y=k-x ist. Also ergibt sich:
$\ [mm] \IP(X+Y [/mm] = k)\ [mm] =\ \summe_{x=1}^{k-1}\IP(X=x)*\IP(Y=k-x)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
jepp, P(X=k) = p*(1-p)^(k-1)
die gemeinsame Verteilung ist durch k*p*(1-p)^(k-1), k=1,2,... gegeben.
die Verteilung der Summe UNABHÄNGIGER Zufallsvariablen wird durch Produktbildung bestimmt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
Teil b) ist einfach wenn du die Variable X' = (X-n) betrachtest, die ebenfalls geometrisch verteilt ist. Die Bedingung wird dann zu X' > 0, was trivial ist (also Wahrscheinlichkeit 1 hat). Also P(X=n+k, X>n) = P(X'=k, X'>0) = P(X'=k).
Du kannst es auch als Summenexperiment Z=X+Y interpretieren, wobei das Ereignis Y=n der Bedingung Z>n entspricht. P(Z=n+k, Y=n) = P(X=k,Y=n|Y=n) = P(X=k)*P(Y=n)/P(Y=n) = P(X=n)
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