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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mi 07.09.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Das Gesundheitsamt in Berlin hat 10 Eierkisten mit je 10 Eiern mit Verdacht
auf Salmonelleninfektion beschlagnahmt. Es soll die Infektionswahrscheinlichkeit pro Ei
geschätzt werden, wobei angenommen wird, dass die beschlagnahmten Eier unabhängig
sind und eine repräsentative Stichprobe bilden. Da es zu mühsam ist, jedes Ei einzeln
zu untersuchen, wird folgendermaßen vorgegangen: Die Eier aus jeder Kiste werden
in ein Sammelgefäß aufgeschlagen und der Inhalt verrührt. Jedes der 10 Gefäße wird
dann einzeln auf Salmonellen untersucht. Die Untersuchung fällt positiv aus (’die Kiste
ist infiziert’), wenn mindestens ein Ei in der zugehörigen Kiste infiziert war, und das Ergebnis ist unabhängig davon, wieviele Eier infiziert waren. Als Ergebnis erhält der
Laborant, dass 4 der 10 Kisten infiziert waren.
a) Der Laborant schließt aus dem Versuchsergebnis, 40 % der Eier seien infiziert. Liegt
er richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Die unbekannte Infektionswahrscheinlichkeit pro Ei sei p. Wie lautet dann w, die
Infektionswahrscheinlichkeit pro Kiste?
c) Schätzen Sie w aus dem Versuchsergebnis (mit Hilfe eines Momentschätzers). Wie
heißt die zugrundeliegende Verteilung?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 infizierte Kisten zu finden? Verwenden
Sie den Schätzwert für w aus (c).
e) Verwenden Sie die Ergebnisse aus (b) und (c), um p zu schätzen. |
Hallo,
ich bin mit bei meinen bisherigen Lösungen nicht 100% sicher und dazu komme ich ab der Aufgabe c nicht weiter.
a) Nein er liegt falsch, da es z.B sein kann, dass in vier Kästen jeweils nur ein Ei infiziert ist. (Ist es das was man hier hören will.)
b) w = [mm] 1-\vektor{10 \\ 0} [/mm] * [mm] p^{0} [/mm] * [mm] (1-p)^{10}
[/mm]
c) Hier habe ich keine Ahnung was ich machen soll. Der Schätzer wäre doch hier: [mm] \summe_{k=0}^{10} [/mm] k * P(X=k) . Was soll ich hier für P(X=k) einsetzen. Es soll ja aus dem Versuchsergebnis geschätzt werden, aber 0,40 wäre ja sinnlos einzusetzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $w = [mm] 1-\vektor{10 \\ 0} [/mm] * [mm] p^{0} [/mm] * [mm] (1-p)^{10}= [/mm] $
[mm] $=\ldots$
[/mm]
> Der Schätzer wäre doch hier: $ [mm] \summe_{k=0}^{10} [/mm] k * P(X=k)$
Das ist nicht der Schätzer für w, das ist die Formel für den Erwartungswert. Das ist ein richtiger Anfang, aber ebensowenig ein Schätzer wie eine Schüssel Mehl ein Brot ist. Den Schätzer für w wollen wir jetzt aus der Formel konstruieren.
Eine einzelne Schachtel ist mit Wkeit w infiziert. Was ist dann die Wkeit, daß von 10 Kisten k infiziert sind? Was hat denn die Anzahl der infizierten Kisten für eine Verteilung?
Eine einzelne Schachtel ist mit Wkeit w infiziert; was ist denn das für eine Verteilung? Und was hat dann die Summe von 10 solchen Zufallsvariablen für eine Verteilung?
Im Ergebnis taucht ganz sicher w auf, schließlich kennen wir w ja nicht, können also auch nix einsetzen.
> Es soll ja aus dem Versuchsergebnis geschätzt werden, aber 0,40 wäre ja sinnlos einzusetzen.
Du setzt nicht 0.4 ein, Du setzt gleich. Die Formel sagt uns, wieviele infizierte Kisten wir für ein gegebenes w theoretisch erwarten.
Das setzen wir dann gleich den 4 von 10 Schachteln, die in der Praxis tatsächlich aufgetaucht sind. Das w, für das Theorie und Praxis übereinstimmen, ist unser Schätzer.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 08.09.2011 | | Autor: | folken |
Danke erstmal für deine Antwort, habe aber das alles noch nicht 100% verstanden und deswegen habe ich noch ein paar Fragen:
> Hi,
>
> > [mm]w = 1-\vektor{10 \\ 0} * p^{0} * (1-p)^{10}=[/mm]
>
> [mm]=\ldots[/mm]
>
= [mm] 1-(1-p)^{10} [/mm] = w
>
> > Der Schätzer wäre doch hier: [mm]\summe_{k=0}^{10} k * P(X=k)[/mm]
>
> Das ist nicht der Schätzer für w, das ist die Formel für
> den Erwartungswert. Das ist ein richtiger Anfang, aber
> ebensowenig ein Schätzer wie eine Schüssel Mehl ein Brot
> ist. Den Schätzer für w wollen wir jetzt aus der Formel
> konstruieren.
>
>
> Eine einzelne Schachtel ist mit Wkeit w infiziert. Was ist
> dann die Wkeit, daß von 10 Kisten k infiziert sind? Was
> hat denn die Anzahl der infizierten Kisten für eine
> Verteilung?
Die ist doch dann auch Binomialverteilt. Das bedeutet, dass für z.b.
2 Kisten dann die Formel folgendermaßen aussieht:
[mm] \vektor{10 \\ k} [/mm] * [mm] w^k [/mm] * [mm] (1-w)^{10-k}
[/mm]
> Eine einzelne Schachtel ist mit Wkeit w infiziert; was ist
> denn das für eine Verteilung? Und was hat dann die Summe
> von 10 solchen Zufallsvariablen für eine Verteilung?
>
Soll das in die Formel eingesetzt dann also so aussehen?:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k* [mm] \vektor{10 \\ k} [/mm] * [mm] w^k [/mm] * [mm] (1-w)^{10-k}
[/mm]
> Im Ergebnis taucht ganz sicher w auf, schließlich kennen
> wir w ja nicht, können also auch nix einsetzen.
>
>
>
> > Es soll ja aus dem Versuchsergebnis geschätzt werden, aber
> 0,40 wäre ja sinnlos einzusetzen.
>
> Du setzt nicht 0.4 ein, Du setzt gleich. Die Formel sagt
> uns, wieviele infizierte Kisten wir für ein gegebenes w
> theoretisch erwarten.
>
Soll das dann also so gleichgesetzt werden:
[mm] \vektor{10 \\ 4}* w^4 [/mm] * [mm] (1-w)^6 [/mm] = 0.4
Demnach wäre dann also das gesuchte w, dass w was eben diese Gleichung erfüllt?
> Das setzen wir dann gleich den 4 von 10 Schachteln, die in
> der Praxis tatsächlich aufgetaucht sind. Das w, für das
> Theorie und Praxis übereinstimmen, ist unser Schätzer.
>
> ciao
> Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 08.09.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die ist doch dann auch Binomialverteilt. Das bedeutet, dass für z.b.
2 Kisten dann die Formel folgendermaßen aussieht:
Ja. (außer daß Du k statt 2 geschrieben hast, aber ich weiß, Du meinst das richtige)
> Soll das in die Formel eingesetzt dann also so aussehen?:
> $ [mm] \summe_{k=0}^{10} [/mm] $ k* $ [mm] \vektor{10 \\ k} [/mm] $ * $ [mm] w^k [/mm] $ * $ [mm] (1-w)^{10-k} [/mm] $
Ja. Nur kannst Du Dir das Ausrechnen sparen, weil Du die Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable schon kennen dürftest. =)
> Soll das dann also so gleichgesetzt werden:
> $ [mm] \vektor{10 \\ 4}\cdot{} w^4 [/mm] $ * $ [mm] (1-w)^6 [/mm] $ = 0.4
Nein. Das Ergebnis ist das w, bei dem mit Wkeit 0.4 genau 4 Kisten infiziert sind. Das bringt uns nix (sofern überhaupt lösbar).
Nochmal:
Wir wollen das w, bei dem wir 4 infizierte Kisten *erwarten*...
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 08.09.2011 | | Autor: | folken |
Habe ich das jetzt richtig verstanden?:
> > [mm]\summe_{k=0}^{10}[/mm] k* [mm]\vektor{10 \\ k}[/mm] * [mm]w^k[/mm] * [mm](1-w)^{10-k}[/mm]
>
> Ja. Nur kannst Du Dir das Ausrechnen sparen, weil Du die
> Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten
> Zufallsvariable schon kennen dürftest. =)
E(X) = n* p = 10* [mm] \vektor{10 \\ k} [/mm] * [mm] w^k [/mm] * [mm] (1-w)^{10-k}
[/mm]
Das soll also jetzt 0,4 gleichgesetzt werden, damit haben wir:
10* [mm] \vektor{10 \\ 4} [/mm] * [mm] w^4 [/mm] * [mm] (1-w)^{10-4} [/mm] = 0.40
=> w = 0.15
Für Aufgabe d) wäre das dann also
[mm] \vektor{10 \\ 4} [/mm] * [mm] 0,15^4 [/mm] * [mm] (1-0.15)^{10-4} [/mm] = 0.04
Für Aufgabe e) müsste ich also dementsprechend gleich vorgehen und mit 0.15 gleichsetzten oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 08.09.2011 | | Autor: | Blech |
> E(X) = n* p = 10* $ [mm] \vektor{10 \\ k} [/mm] $ * $ [mm] w^k [/mm] $ * $ [mm] (1-w)^{10-k} [/mm] $
Wie zum Henker kommst Du auf die rechte Seite? Oben hattest Du die Formel für den EW doch schon richtig. Wo kommt das jetzt her? Es kann allein schon mal nicht stimmen, weil das rechts von k abhängt.
Und wofür steht das p in $n*p$?
> 10* $ [mm] \vektor{10 \\ 4} [/mm] $ * $ [mm] w^4 [/mm] $ * $ [mm] (1-w)^{10-4} [/mm] $ = 0.40
Hab ich nicht in der letzten Antwort schon gesagt, daß genau das Quatsch ist?
Also, ist X binomialverteilt, dann ist der EW
$E(X)=n*p$
1. Was ist in diesem Fall unsere Zufallsvariable X? Was sagt sie aus? Sagen wir X=2, wofür steht dann die 2, *was* ist 2?
2. Was ist n? Nicht nur, welche Zahl ist es, wofür steht diese Zahl? Wir würfeln hier ja nicht nur Zahlen aus, die Größen haben ja eine reale Bedeutung; und wofür steht die Größe n?
3. Ebenso; was ist p?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Fr 09.09.2011 | | Autor: | folken |
So, danke nochmal für deine Korrektur.
Jetzt habe ich das nochmal versucht zu durchdenken und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen. Ist das jetzt richtig?
> Also, ist X binomialverteilt, dann ist der EW
>
> [mm]E(X)=n*p[/mm]
>
> 1. Was ist in diesem Fall unsere Zufallsvariable X? Was
> sagt sie aus? Sagen wir X=2, wofür steht dann die 2, *was*
> ist 2?
Der Erwartungswert für 2 infizierte Kisten denke ich mal.
> 2. Was ist n? Nicht nur, welche Zahl ist es, wofür steht
> diese Zahl? Wir würfeln hier ja nicht nur Zahlen aus, die
> Größen haben ja eine reale Bedeutung; und wofür steht
> die Größe n?
Also beim Würfeln würde ich doch für die Anzahl der Versuche eintragen,
bzw. bezogen auf unser Kistenbeispiel die Anzahl an vorhandenen bzw. zutestenden Kisten, also hier 10 oder nicht?.
> 3. Ebenso; was ist p?
P würde bei dem Würfelexperiment die Trefferwahrscheinlichkeit angeben also hier dementsprechend die Wahrscheinlichkeit, das eine Kiste infiziert ist.
Das haben wir ja in b berechnet, was also [mm] 1-(1-p)^{10}.
[/mm]
Also 2. versuch: E(X) = n * w = 10 * [mm] 1-(1-p)^{10}
[/mm]
So und das müsste man jetzt 0,4 gleich setzen oder wie, oder bin ich hier noch ganz falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 11.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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