Verteilungsfkt von sin(X) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 27.05.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei X eine reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilung [mm] P_{x} [/mm] eine Dichte f bzgl. des Lebesguemaßes besitzt.
(a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen [mm] Z_{1}= X^{3} [/mm] und [mm] Z_{2}=sin(X).
[/mm]
(b) Prüfen Sie außerdem, ob [mm] Z_{1} [/mm] und [mm] Z_{2} [/mm] eine Dichte besitzt und berechnen Sie diese. |
Heyho!
Also ich könnte bei dieser Aufgabe ein wenig Hilfestellung gebrauchen.
Für [mm] Z_{1} [/mm] hätte ich das Folgende im Angebot und würde gerne wissen, ob das bisher so stimmt oder Mist ist(was auch gut sein kann):
[mm] F_{Z_{1}}(y) [/mm] = [mm] P_{Z_{1}}[(-\infty,y]] [/mm] = [mm] P[Z_{1}\le [/mm] y] = [mm] P[X^3\in[0,y]] [/mm] = [mm] P[X\in[-\wurzel[3]{y},+\wurzel[3]{y}]] [/mm] = [mm] \integral_{-\wurzel[3]{y}}^{+\wurzel[3]{y}}{f(\mu) d\mu} [/mm] , [mm] \forall [/mm] y>0
[mm] F_{Z_{1}}(y) [/mm] = 0 [mm] \forall y\le0 [/mm] ,da für die Verteilungsfunktione [mm] \limes_{y\rightarrow-\infty}F_{Z_{1}}=0 [/mm] gelten muss.
Das wäre mein Vorschlag für die Verteilungsfunktion. Und hier kommt die Dichte:
[mm] f(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } y\le 0 \\ F'_{Z_{1}}=[F(y^{1/3})-F(-(y^{1/3}))]' = \bruch{1}{3y^{2/3}}[f(y^{1/3})+f(-(y^{1/3}))], & \mbox{für } y>0 \end{cases}
[/mm]
Stimmt das so?
Und für [mm] Z_{2}=sin(X) [/mm] habe ich irgendwie so gar keine Idee wie das ganze Aussehen könnte. Da macht mir die Periodizität irgendwie Probleme. Soll ich da ein Intervall herauspicken, auf dem der Sinus monoton steigend ist (was die Verteilungsfunktion ja sein muss)? Z.B. [mm] [\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
Also ich hoffe, dass mir irgendwer da draußen ein bisschen helfen kann. Wäre ziemlich froh um einen Ansatz bei dem Sinuszeug.
Also dann danke ich schon mal für eure Aufmerksamkeit und Hilfe!
Gruß!
skoopa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei X eine reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilung
> [mm]P_{x}[/mm] eine Dichte f bzgl. des Lebesguemaßes besitzt.
> (a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen der
> Zufallsvariablen [mm]Z_{1}= X^{3}[/mm] und [mm]Z_{2}=sin(X).[/mm]
> (b) Prüfen Sie außerdem, ob [mm]Z_{1}[/mm] und [mm]Z_{2}[/mm] eine Dichte
> besitzt und berechnen Sie diese.
> Heyho!
> Also ich könnte bei dieser Aufgabe ein wenig
> Hilfestellung gebrauchen.
> Für [mm]Z_{1}[/mm] hätte ich das Folgende im Angebot und würde
> gerne wissen, ob das bisher so stimmt oder Mist ist(was
> auch gut sein kann):
> [mm]F_{Z_{1}}(y)[/mm] = [mm]P_{Z_{1}}[(-\infty,y]][/mm] = [mm]P[Z_{1}\le[/mm] y] =
> [mm]P[X^3\in[0,y]][/mm] = [mm]P[X\in[-\wurzel[3]{y},+\wurzel[3]{y}]][/mm] =
> [mm]\integral_{-\wurzel[3]{y}}^{+\wurzel[3]{y}}{f(\mu) d\mu}[/mm] ,
> [mm]\forall[/mm] y>0
> [mm]F_{Z_{1}}(y)[/mm] = 0 [mm]\forall y\le0[/mm] ,da für die
> Verteilungsfunktione
> [mm]\limes_{y\rightarrow-\infty}F_{Z_{1}}=0[/mm] gelten muss.
> Das wäre mein Vorschlag für die Verteilungsfunktion. Und
> hier kommt die Dichte:
> [mm]f(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } y\le 0 \\ F'_{Z_{1}}=[F(y^{1/3})-F(-(y^{1/3}))]' = \bruch{1}{3y^{2/3}}[f(y^{1/3})+f(-(y^{1/3}))], & \mbox{für } y>0 \end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Und für [mm]Z_{2}=sin(X)[/mm] habe ich irgendwie so gar keine Idee
> wie das ganze Aussehen könnte. Da macht mir die
> Periodizität irgendwie Probleme. Soll ich da ein Intervall
> herauspicken, auf dem der Sinus monoton steigend ist (was
> die Verteilungsfunktion ja sein muss)? Z.B.
> [mm][\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> Also ich hoffe, dass mir irgendwer da draußen ein bisschen
> helfen kann. Wäre ziemlich froh um einen Ansatz bei dem
> Sinuszeug.
> Also dann danke ich schon mal für eure Aufmerksamkeit und
> Hilfe!
> Gruß!
> skoopa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] F_{X^3}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(X^3(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(s^3)f_X(s)ds=\integral_\IR 1_{(-\infty,t^{1/3}]}(s)f_X(s)ds=\integral_{-\infty}^{t^{1/3}} f_X(s)ds
[/mm]
[mm] F_{\sin\circ X}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(\sin\circ X)(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(\sin s)f_X(s)ds= \integral_\IR 1_{\sin^{-1}((-\infty,t])}(s)f_X(s)ds
[/mm]
Fortsetzung folgt
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Fr 28.05.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey gfm!
Erstmal vielen Dank für deine Antwort! Hab mir fast schon gedacht, dass ich einigen Quatsch verzapft hab. Mir ist das ganze Thema noch nicht so geheuer. Deshalb tun sich mir auch gleich noch einige anschließende Fragen auf:
> [mm]F_{X^3}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(X^3(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(s^3)f_X(s)ds=\integral_\IR 1_{(-\infty,t^{1/3}]}(s)f_X(s)ds=\integral_{-\infty}^{t^{1/3}} f_X(s)ds[/mm]
>
> [mm]F_{\sin\circ X}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(\sin\circ X)(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(\sin s)f_X(s)ds= \integral_\IR 1_{\sin^{-1}((-\infty,t])}(s)f_X(s)ds[/mm]
1. Kann ich so immer die Verteilungsfunktion berechnen? Meine "Variante" erscheint mir nicht nur falsch sondern auch recht kompliziert, obwohl das bisher immer funktioniert hat.
2. Was passiert beim zweiten Gleichheitszeichen? Wird da substituiert oder ist das einfach die Definition (also dass s die Wahrscheinlichkeit von w ist)?
3. Kann ich das letzte Integral einfach so hinschreiben? Ich mein, das ist ja ein uneigentliches Integral, ich weiß also nix über die Existenz. Oder geht hier die Bedingung für Verteilungsfunktionen [mm] \limes_{y\rightarrow-\infty}F_{Z_{1}}=0 [/mm] ein? Oder muss ich das einfach so annehmen, da ich ja nix genaueres über die Dichtefunktion weiß?
4. Muss ich beim Sinus nicht noch die Periodizität beachten? Sinus ist ja nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] bijektiv, also kann ich doch auch nicht über ganz [mm] \IR sin^{-1} [/mm] betrachten. Außerdem ist der Sinus ja auf einigen Intervallen monoton fallend, was die Verteilnugsfunktion ja nicht sein darf. Muss ich auf diesen Intervallen [mm] F_{sin\circ X}(t)=0 [/mm] annehmen?
> Fortsetzung folgt
Da freu ich mich schon drauf :)
>
> LG
>
> gfm
Gruß!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hey gfm!
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort! Hab mir fast schon
> gedacht, dass ich einigen Quatsch verzapft hab. Mir ist das
> ganze Thema noch nicht so geheuer. Deshalb tun sich mir
> auch gleich noch einige anschließende Fragen auf:
>
> > [mm]F_{X^3}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(X^3(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(s^3)f_X(s)ds=\integral_\IR 1_{(-\infty,t^{1/3}]}(s)f_X(s)ds=\integral_{-\infty}^{t^{1/3}} f_X(s)ds[/mm]
>
> >
> > [mm]F_{\sin\circ X}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(\sin\circ X)(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(\sin s)f_X(s)ds= \integral_\IR 1_{\sin^{-1}((-\infty,t])}(s)f_X(s)ds[/mm]
>
>
> 1. Kann ich so immer die Verteilungsfunktion berechnen?
Die Verteilungsfunktion einer reellwertigen ZV [mm] X:\Omega\to\IR [/mm] auf einem W-Raum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ist so definiert:
Zuerst definiert man sich auf den Borelschen Megen des [mm] \IR^1 [/mm] mit [mm] B\in\mathcal{B}(\IR)\to P_X(B):=P(X^{-1}(B)) [/mm] das Bildmaß bezüglich der ZV X und dann mit den speziellen Mengen [mm] B=(-\infty,t] [/mm] die Verteilungsfunktion [mm] F_X(t):=P_X((-\infty,t]). [/mm] Mit dieser Verteilungsfunktion kann man dann [mm] P_X(B) [/mm] als Lebesgue-Stieljes-Integral darstellen:
[mm] P_X(B)=\integral_B dF_X(t)
[/mm]
Aber mit der Originaldefinition [mm] F_X(t):=P_X((-\infty,t]) [/mm] kann man auch schreiben
[mm] F_X(t)=P(X^{-1}((-\infty,t])))=\integral_\Omega 1_{X^{-1}((-\infty,t])}(\omega)dP(\omega)=\integral_\Omega (1_{(-\infty,t]}\circ X)(\omega)dP(\omega) [/mm]
kurz (mit [mm] I_t:=(-\infty,t])
[/mm]
[mm]F_X(t)=\integral 1_{I_t}\circ XdP[/mm]
> 2. Was passiert beim zweiten Gleichheitszeichen? Wird da
> substituiert oder ist das einfach die Definition (also dass
> s die Wahrscheinlichkeit von w ist)?
Der Übergang zum Bildmaß, welches eine Dichte hat.
Fortsetzung folgt.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hey gfm!
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort! Hab mir fast schon
> gedacht, dass ich einigen Quatsch verzapft hab. Mir ist das
> ganze Thema noch nicht so geheuer. Deshalb tun sich mir
> auch gleich noch einige anschließende Fragen auf:
>
> > [mm]F_{X^3}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(X^3(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(s^3)f_X(s)ds=\integral_\IR 1_{(-\infty,t^{1/3}]}(s)f_X(s)ds=\integral_{-\infty}^{t^{1/3}} f_X(s)ds[/mm]
>
> >
> > [mm]F_{\sin\circ X}(t)=\integral_\Omega 1_{(-\infty,t]}(\sin\circ X)(\omega))dP(\omega)=\integral_\IR 1_{(-\infty,t]}(\sin s)f_X(s)ds= \integral_\IR 1_{\sin^{-1}((-\infty,t])}(s)f_X(s)ds[/mm]
>
>
> 1. Kann ich so immer die Verteilungsfunktion berechnen?
> Meine "Variante" erscheint mir nicht nur falsch sondern
> auch recht kompliziert, obwohl das bisher immer
> funktioniert hat.
> 2. Was passiert beim zweiten Gleichheitszeichen? Wird da
> substituiert oder ist das einfach die Definition (also dass
> s die Wahrscheinlichkeit von w ist)?
Es ist
[mm] P_{(g\circ X)}(B)=P((g\circ X)^{-1}(B))=\integral_\Omega 1_{(g\circ X)^{-1}(B)}(\omega)dP(\omega)=\integral_\Omega 1_{B}((g\circ X)(\omega))dP(\omega)=\integral_{\IR} 1_{B}(g(s))dP_X(s)
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR} 1_{B}(g(s))f_X(s)ds
[/mm]
> 3. Kann ich das letzte Integral einfach so hinschreiben?
> Ich mein, das ist ja ein uneigentliches Integral, ich weiß
> also nix über die Existenz. Oder geht hier die Bedingung
> für Verteilungsfunktionen
> [mm]\limes_{y\rightarrow-\infty}F_{Z_{1}}=0[/mm] ein? Oder muss ich
> das einfach so annehmen, da ich ja nix genaueres über die
> Dichtefunktion weiß?
Immerhin haben wir es mit endlichen Maßen zu tun (W-Maße). Wenn dann die Funktionen meßbar sind, exisiteren die Integrale. Wir integrieren ja nur Indikatorfunktionen (die beschränkt sind, da sie nur null oder eins als Wert annehmen können) bezüglich meßbarer Mengen:
[mm] F_{g\circ }(t)=P_{(g\circ X)}((-\infty,t])=\integral_{\IR} 1_{(-\infty,t]}(g(s))dP_X(s)=\integral_{\IR} 1_{(-\infty,t]}(g(s))f_X(s)ds
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR} 1_{(g^{-1}(-\infty,t])}(s)f_X(s)ds=\integral_{g^{-1}((-\infty,t])}f_X(s)ds
[/mm]
und wenn g so wie die [mm] (.)^3-Funktion [/mm] schön einfach umzukehren ist, so dass mach schreiben darf [mm] g^{-1}((-\infty,t])=(g^{-1}(-\infty), g^{-1}(t)] [/mm] , dann kann man weiter schreiben
[mm] =\integral_{(g^{-1}(-\infty), g^{-1}(t)]}f_X(s)ds
[/mm]
oder auch
[mm] \integral_{g^{-1}(-\infty)}^{g^{-1}(t)}f_X(s)ds
[/mm]
wenn man nicht vergißt, dass man i.A. hier keine Riemannintegrale stehen hat.
[mm] \integral_{g^{-1}((-\infty,t])}f_X(s)ds [/mm] ist ja das Lebesgue-Integral der Dichte (welche auf ganz [mm] \IR [/mm] (absolut) integrierbar ist) über die [mm]\IR[/mm]-Teilmenge [mm]g^{-1}((-\infty,t])[/mm].
Eine borel-meßbare auf [mm] \IR [/mm] definierte reellwertige Funktion, die auf jedem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, ist genau dann uneigentlich Riemann-integrierbar, wenn Sie auf ganz [mm] \IR [/mm] Lebesgue-Integrierbar ist.
Wenn [mm] f_X [/mm] in jedem beschränkten Intervall fast überall (bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes) stetig ist, ist [mm] f_X [/mm] dort auch Riemann-Integrierbar. Da [mm] f_X [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] Lebesgue-integrierbar ist, ist Sie dort dann auch uneigentlich Riemann-Integrierbar. D.h. Schwierigkeiten machen könnte hier nicht die Unbeschränktheit des Integrationsintervalls sondern die "Regularität" von [mm] f_X.
[/mm]
Worauf man (nicht hier) aufpassen muss, ist ein Integral der Form
[mm] \integral_{g^{-1}((-\infty,t])}dF(s)
[/mm]
wenn man z.B. durch irgendwelche Umformungen zu
[mm] \integral_a^b [/mm] dF(s)
gelangt. Ein allgemeines F kann auch einen diskreten Anteil haben, der einzelnen Punkten eine positive Wahrscheinlichkeit verleit. Wenn das an den Integrationsgrenzen passiert, können diese Wahrscheinlichkeiten leicht unter den Tisch fallen. Auch muss man in solchen Fällen bei der Zerlegung des Integrationsintervalls in Teilintervalle aufpassen, wenn man genau an solchen Stellen die Zerlegung durchführt.
Wenn F nur monoton ist (also nicht rechtsstetig, wie zusätzlich im Falle von Verteilungsfunktionen) gilt
[mm] \integral_{(a,b)} [/mm] dF(s)=F(b-)-F(a+)
[mm] \integral_{[a,b]} [/mm] dF(s)=F(b+)-F(a-)
[mm] \integral_{(a,b]} [/mm] dF(s)=F(b+)-F(a+)
[mm] \integral_{[a,b)} [/mm] dF(s)=F(b-)-F(a-)
Wenn F eine Verteilungsfunktion ist gilt F(x+)=F(x).
Und wenn F nirgendswo Sprünge hat, also durchgehend stetig ist, gilt F(x+)=F(x-)=F(x).
> 4. Muss ich beim Sinus nicht noch die Periodizität
> beachten? Sinus ist ja nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] bijektiv, also
> kann ich doch auch nicht über ganz [mm]\IR sin^{-1}[/mm]
> betrachten. Außerdem ist der Sinus ja auf einigen
> Intervallen monoton fallend, was die Verteilnugsfunktion ja
> nicht sein darf. Muss ich auf diesen Intervallen
> [mm]F_{sin\circ X}(t)=0[/mm] annehmen?
Richtig. Mit [mm] \sin^{-1} [/mm] meine ich auch die Umkehrrelation und nicht [mm] \arcsin. [/mm] Im Prinzip geht es um die Auswertung der Menge [mm] \{s:\sin s\le t\}. [/mm] Klar ist dass der Träger von [mm] F_{\sin X}(t) [/mm] [-1,1] ist. Deswegen würde ich die Fälle
[mm] 0
>
> > Fortsetzung folgt
>
> Da freu ich mich schon drauf :)
[mm] F_{X^3}(t)=\integral_{-\infty}^{t^{1/3}} f_X(s)ds=F_X(t^{1/3})
[/mm]
[mm] f_{X^3}(t)=1/3 t^{-2/3}f_X(t^{1/3}) [/mm] (bei t=0 setzt [mm] f_X=0)
[/mm]
[mm] F_{\sin\circ X}(t)=\integral_{\{u\in\IR:\sin u\le t\}}f_X(s)ds
[/mm]
Das letzte Integral müßte zu einer Reihe
[mm] \summe \integral_{a_k(t)}^{b_k(t)} f_X(s)ds=\summe\Left(F_X(b_k(t))-F_X(a_k(t))\Right)
[/mm]
Formal könnte man die Glieder differenzieren und prüfen ob, das erlaubt ist, um so zur Dichte zu kommen.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 28.05.2010 | | Autor: | skoopa |
Wow!
Voll gut!
Vielen Dank!
Ich muss mir das jetzt erstmal genau zu Gemüte führen. Mal schauen ob sich dann noch Fragen auf tun.
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