Verteilungsfunktion-Eig < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) , X eine Zufallsvariable
Verteilungsfunktion: Die durch F(t)= P(X [mm] \le [/mm] t)= [mm] P_x ((-\infty,t))
[/mm]
F: [mm] \IR [/mm] -> [0,1] definierte Funktion heißt Verteilungsfunktion von der Zufallsvariable X.
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1) a [mm] \le [/mm] b => F(a) [mm] \le [/mm] F(b)
2) [mm] lim_{a->-\infty} [/mm] F(a)=0, [mm] lim_{a->\infty} [/mm] F(a)=1 |
1) a [mm] \le [/mm] b
Also gilt trivialerweise (- [mm] \infty, [/mm] a[ [mm] \subset [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] b]
Nun nutze ich die Monotonie der Maße => [mm] P_x ((-\infty,a]) \le P_x ((-\infty,b])
[/mm]
=> F(a) [mm] \le [/mm] F(b)
2)
Hätet ihr für zwei einen Tipp für mich.
Ich bim am basteln von Durchschnitten sodass ich die Stetigkeit ausnutzen kann. Hab es aber noch nicht hinbekommen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:05 Fr 03.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> 1) a [mm]\le[/mm] b => F(a) [mm]\le[/mm] F(b)
> 1) a [mm]\le[/mm] b
> Also gilt trivialerweise (- [mm]\infty,[/mm] a[ [mm]\subset[/mm] (- [mm]\infty,[/mm]
> b]
> Nun nutze ich die Monotonie der Maße => [mm]P_x ((-\infty,a]) \le P_x ((-\infty,b])[/mm]
>
> => F(a) [mm]\le[/mm] F(b)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) [mm]lim_{a->-\infty}[/mm] F(a)=0, [mm]lim_{a->\infty}[/mm] F(a)=1
> 2)
> Hätet ihr für zwei einen Tipp für mich.
> Ich bim am basteln von Durchschnitten sodass ich die
> Stetigkeit ausnutzen kann. Hab es aber noch nicht
> hinbekommen..
Gute Idee!
Wie war nochmal die Definition von Limiten von Funktionen wie [mm] $\lim_{a\to-\infty}F(a)$?
[/mm]
Für den ersten Limes ist also eine beliebig vorgegebene Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ [/mm] zu betrachten und [mm] $\lim_{n\to\infty}F(a_n)=0$ [/mm] zu zeigen.
Ohne Einschränkung kann die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] dabei als monoton fallend angenommen werden.
(Das zu zeigen, macht etwas Arbeit (Analysis 1 lässt grüßen...), ist aber aus meiner Sicht anschaulich recht plausibel und hat nichts mit WT zu tun.)
Zeige nun [mm] $\lim_{n\to\infty}F(a_n)=0$ [/mm] mithilfe der Definition von $F$ und der Stetigkeit von $P$ oder [mm] $P_X$!
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 03.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] lim_{n-> \infty} a_n [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
ZZ.: [mm] lim_{n->\infty} F(a_n)=0
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} F(a_n)= lim_{n->\infty} [/mm] P(X [mm] \le a_n) [/mm] = P(X [mm] \le a_n \forall [/mm] n [mm] \in \IN)= P_x [/mm] ( [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])
[/mm]
Nun bin ich mir nicht ganz sicher, warum das 0 ist.
"heuristisch" würd ich argumentieren: [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n] [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] P_X( \emptyset)=0
[/mm]
Für: [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] lim_{n-> \infty} a_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} F(a_n) =P_x [/mm] ( [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])
[/mm]
[mm] bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n] [/mm] = [mm] \Omega
[/mm]
[mm] P_x (\Omega)=1
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Sa 04.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]lim_{n-> \infty} a_n[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
>
> ZZ.: [mm]lim_{n->\infty} F(a_n)=0[/mm]
> [mm]lim_{n->\infty} F(a_n)= lim_{n->\infty}[/mm]
> P(X [mm]\le a_n)[/mm] = P(X [mm]\le a_n \forall[/mm] n [mm]\in \IN)= P_x[/mm] (
> [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])[/mm]
Warum gilt das mittlere Gleichheitszeichen?
> Nun bin ich mir nicht
> ganz sicher, warum das 0 ist.
> "heuristisch" würd ich argumentieren: [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n][/mm]
> = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]P_X( \emptyset)=0[/mm]
Das ist auch korrekt. [mm] $P_X(\emptyset)=0$, [/mm] weil [mm] $P_X$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Und [mm] $\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]=\emptyset$ [/mm] wegen [mm] $a_n\to-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Denn angenommen [mm] $b\in\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n
> Für: [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]lim_{n-> \infty} a_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> [mm]lim_{n->\infty} F(a_n) =P_x[/mm] ( [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])[/mm]
Abgesehen davon, dass du sicherlich [mm] $\bigcup$ [/mm] statt [mm] $\bigcap$ [/mm] meinst: Gleiche Frage wie oben: Begründung?
> [mm]bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n][/mm] = [mm]\Omega[/mm]
> [mm]P_x (\Omega)=1[/mm]
Ansonsten: = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]P_X( \emptyset)=0[/mm]
Das ist auch korrekt. [mm] $P_X(\emptyset)=0$, [/mm] weil [mm] $P_X$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Und [mm] $\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]=\emptyset$ [/mm] wegen [mm] $a_n\to-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Denn angenommen [mm] $b\in\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n
[/mm]
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