Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Zusammen!
Bei meiner Klausurvorbereitung stosse ich immer wieder auf die gleiche Aufgabe, weiss aber nicht, wie ich da einen Ansatz finden kann:
Es sei X eine R(0,1) (Rechteck-)verteilte ZV.
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und eine Dichte des Maximums der ZV X und Y, wobei Y=1-X ist.
Welche bekannte Verteilung ergibt sich?
Für die Verteilungsfunktion habe ich:
[mm] F^X(x)= [/mm] x, falls x aus dem Intervall von [0,1]
1, falls x>1
0 sonst
Für den zweiten Teil, weiss ich nicht, wie ich ansetzen soll.
Gruss,
wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Das ist ganz einfach, es gilt:
[mm] $F^{\max(X,Y)}(x)$
[/mm]
$= [mm] P(\max(X,Y) \le [/mm] x)$
$= P(X [mm] \le [/mm] x,Y [mm] \le [/mm] x)$
$= P(X [mm] \le [/mm] x,1-X [mm] \le [/mm] x)$
$= P(1-x [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] x)$
$= [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \mbox{falls} & x>1,\\[5pt] x - (1-x) & \mbox{falls} & \frac{1}{2} \le x \le 1, \\[5pt] 0 & \mbox{falls} & x < \frac{1}{2}, \end{array} \right.$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \mbox{falls} & x>1,\\[5pt] 2x-1 & \mbox{falls} & \frac{1}{2} \le x \le 1, \\[5pt] 0 & \mbox{falls} & x < \frac{1}{2}, \end{array} \right.$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \mbox{falls} & x>1,\\[5pt] \frac{x-a}{b-a} & \mbox{falls} & \frac{1}{2} \le x \le 1, \\[5pt] 0 & \mbox{falls} & x < \frac{1}{2}, \end{array} \right.$
[/mm]
mit $a= [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und $b=1$.
Daher ist die Zufallsvariable [mm] $\max(X,Y)$ [/mm] gerade [mm] ${\cal R}(\frac{1}{2},1)$-verteilt, [/mm] was ja auch nicht verwunderlich ist.
Liebe Grüße
Stefan
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