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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 14.11.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe die folgende Verteilungsfunktion:
[mm] $F_x(t) [/mm] = 0.9 [mm] \cdot (1-e^{-t}) [/mm] + 0.1 [mm] \cdot 1_{1, \infty}(t)$, [/mm] $t [mm] \ge [/mm] 0$.
Wenn ich die Survivalfunktion [mm] $S_x$ [/mm] bestimmen möchte, bestimme ich einfach
[mm] $S_x(t) [/mm] = 1 - [mm] F_x [/mm] = 1- 0.9 [mm] \cdot (1-e^{-t}) [/mm] + 0.1 [mm] \cdot 1_{1, \infty}(t)$. [/mm]
Wie kann ich dieses vereinfachen? Kommt da einfach folgendes raus:
[mm] $S_x(t) [/mm] = 0,2 + 0,9 [mm] e^{(-t)}$ [/mm] ?
Die kumulative Ausscheideintensität bestimmt sich wie folgt:
[mm] $A_x [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t} {\lambda (s) ds}$, [/mm]
wobei $ [mm] \lambda [/mm] (t) = [mm] \bruch{f(t)}{S_x(t)} [/mm] = [mm] \bruch{f(t)}{(1 - F_x(t))}$.
[/mm]
Setze ich dann einfach $f(t) = F'(t)$ und setze alles ein? Oder ist $f(t)$ die Lebesgue-Dichte und muß ganz anders berechnet werden?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
> [mm]F_x(t) = 0.9 \cdot (1-e^{-t}) + 0.1 \cdot 1_{1, \infty}(t)[/mm],
> [mm]t \ge 0[/mm].
>
> Wenn ich die Survivalfunktion [mm]S_x[/mm] bestimmen möchte,
> bestimme ich einfach
>
> [mm]S_x(t) = 1 - F_x = 1- 0.9 \cdot (1-e^{-t}) + 0.1 \cdot 1_{1, \infty}(t)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich dieses vereinfachen? Kommt da einfach
> folgendes raus:
>
> [mm]S_x(t) = 0,2 + 0,9 e^{(-t)}[/mm] ?
Nein. Dann lässt du ja die Sprungfunktion außer acht.
Richtig geht es so:
[mm] $S_x(t) [/mm] = 1- [mm] F_x(t)$
[/mm]
$= 1 - 0.9 + [mm] 0.9e^{-t} [/mm] - 0.1 [mm] \cdot 1_{(1,\infty)}(t)$
[/mm]
$= 0.1 + [mm] 0.9e^{-t} [/mm] - 0.1 [mm] \cdot 1_{(1,\infty)}(t)$
[/mm]
$= 0,1 [mm] \cdot [/mm] (1 - [mm] 1_{(1,\infty)}(t)) [/mm] + [mm] 0.9e^{-t}$
[/mm]
$ = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0.9e^{-t} & , & t \in (1,\infty),\\[5pt] 0.1 + 0.9e^{-t} & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.$
[/mm]
> Die kumulative Ausscheideintensität bestimmt sich wie
> folgt:
>
> [mm]A_x = \integral_{0}^{t} {\lambda (s) ds}[/mm],
> wobei [mm]\lambda (t) = \bruch{f(t)}{S_x(t)} = \bruch{f(t)}{(1 - F_x(t))}[/mm].
>
> Setze ich dann einfach [mm]f(t) = F'(t)[/mm] und setze alles ein?
Ja, davon gehe ich aus, dass das hier gemeint ist. Beachte aber, dass $F$ an der Stelle $t=1$ nicht differenzierbar ist. Das macht aber nicht, weil einzelne Punkte zum Lebesgue-Maß nichts beitragen.
Andere Frage: Du hast noch zwei Fragen im Forum, die "unbefristet" sind, die aber anscheinend keiner beantworten kann. Sind diese noch aktuell? Wenn du die Lösungen kennst, wäre es nett, wenn du sie mitteilen könntest oder wenigstens schreiben könntest, dass du keine Hilfe mehr benötigst. Kannst du uns bitte eine kurze Rückmeldung darüber geben? Danke! 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 15.11.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
es muss so lauten:
[mm] $S_x(t) [/mm] = 1 - (0.9 - [mm] 0.9e^{-t} [/mm] + 0.1 [mm] \cdot 1_{(1,\infty)}(t))$.
[/mm]
Also:
[mm] $S_x(t) [/mm] = 1 - 0.9 + [mm] 0.9e^{-t} [/mm] - 0.1 [mm] \cdot 1_{(1,\infty)}(t)$.
[/mm]
Die Vorzeichen sind also falsch, weil eine Klammerung fehlt.
Viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mo 15.11.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
es lautet dann also insgesamt:
[mm]S_x(t) = 1- F_x(t)[/mm]
[mm]= 1 - 0.9 - 0.9e^{-t} - 0.1 \cdot 1_{(1,\infty)}(t)[/mm]
[mm]= 0.1 - 0.9e^{-t} - 0.1 \cdot 1_{(1,\infty)}(t)[/mm]
[mm]= 0,1 \cdot (1 - 1_{(1,\infty)}(t)) - 0.9e^{-t}[/mm]
[mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} - 0.9e^{-t} & , & t \in (1,\infty),\\[5pt] 0.1 - 0.9e^{-t} & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.[/mm]
Viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Regine!
Verstehe ich jetzt nicht.
> [mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} - 0.9e^{-t} & , & t \in (1,\infty),\\[5pt] 0.1 - 0.9e^{-t} & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.[/mm]
Wo kommt denn das [mm] $\red{-}0.9e^{-t}$ [/mm] jetzt her??? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Di 16.11.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
es geht doch folgendermaßen:
[mm]S_x(t) = 1- F_x(t)[/mm]
Im folgenden Schritt fehlte doch eine Klammer, oder nicht?! Ich habe sie nun mal eingefügt.
(Und während ich es aufschreibe entdecke ich in meiner Rechnung auch einen Vorzeichenfehler...)
[mm]= 1 - (0.9 - 0.9e^{-t} + 0.1 \cdot 1_{(1,\infty)}(t))[/mm]
[mm]= 1 - 0.9 + 0.9e^{-t} - 0.1 \cdot 1_{(1,\infty)}(t)[/mm]
[mm]= 0.1 + 0.9e^{-t} - 0.1 \cdot 1_{(1,\infty)}(t)[/mm]
[mm]= 0,1 \cdot (1 - 1_{(1,\infty)}(t)) + 0.9e^{-t}[/mm]
[mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} 0.9e^{-t} & , & t \in (1,\infty),\\[5pt] 0.1 + 0.9e^{-t} & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.[/mm]
Womit wir nun bei Deinem ursprünglichen Ergebnis gelandet wären. Aber zumindest habe ich es verstanden.
Viele Grüße,
Regine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 16.11.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
wenn ich nun die kumulative Sterbeintensität nach der in meinem ersten Beitrag angegebenen Formel bestimme, schleppe ich doch nun meine Fallunterscheidung, die ich bei der Berechnung der Survivalfunktion erhalten habe, da mit durch, oder?
Ich möchte den Sprunganteil und den stetigen Anteil der Verteilungsfunktion bestimmen.
Der Sprunganteil lautet doch dann genau: [mm] $F^{(d)}= \summe_{u \le t} \Delta [/mm] F(u)$, oder? Wie berechne ich das dann?
Der stetige Anteil ist dann am Ende nur noch: [mm] $F^{(c)} [/mm] = F(t) - [mm] F^{(d)}$.
[/mm]
Danke und viele Grüße,
Regine.
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