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| Aufgabe | Sei y eine stetige Zufallsvariable
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
0 & -\infty < y < -1 \\
\bruch{1}{3}(y + 1)^2 & -1 \le y \le 0 \\
c_1 + c_2y & 0 \le y \le 1 \\
1 & 1 \le y < \infty
\end{matrix}\right.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Konstanten [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2?
[/mm]
b) Wie lautet die Dichte Fx(y)? |
Hallo,
habe noch nicht wirklich viel Ahnung bezüglich der Verteilungsfunktion sitze aber schon einige zeit daran und hoffe ihr könnt mir bei diesem Bsp ein paar Tipps geben. Vielleicht wirds dann klarer.
Habe für Aufgabe a) zunächst mal folgende Gleichung aufgestellt.
y: 0
[mm]\bruch{1}{3}(0 + 1)^2 + c_1 + c_2.0 = 0
sprich c_1 ist \bruch{1}{3}[/mm]
y: 1
[mm]\bruch{1}{3} + c_2 = 1
sprich c_2 = \bruch{2}{3}[/mm]
Stimmt dies Vorgangsweise so? Oder kommt für [mm] c_1 [/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] heraus? Habe noch nicht ganz den Durchblick wie ich vorgehen soll.
lg
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Hallo mathe_tipster,
> Sei y eine stetige Zufallsvariable
>
> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
0 & -\infty < y < -1 \\
\bruch{1}{3}(y + 1)^2 & -1 \le y \le 0 \\
c_1 + c_2y & 0 \le y \le 1 \\
1 & 1 \le y < \infty
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Konstanten [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2?[/mm]
> b) Wie lautet die Dichte Fx(y)?
> Hallo,
>
> habe noch nicht wirklich viel Ahnung bezüglich der
> Verteilungsfunktion sitze aber schon einige zeit daran und
> hoffe ihr könnt mir bei diesem Bsp ein paar Tipps geben.
> Vielleicht wirds dann klarer.
>
> Habe für Aufgabe a) zunächst mal folgende Gleichung
> aufgestellt.
>
> y: 0
> [mm]\bruch{1}{3}(0 + 1)^2 + c_1 + c_2.0 = 0
sprich c_1 ist \bruch{1}{3}[/mm]
>
> y: 1
> [mm]\bruch{1}{3} + c_2 = 1
sprich c_2 = \bruch{2}{3}[/mm]
>
> Stimmt dies Vorgangsweise so? Oder kommt für [mm]c_1[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] heraus? Habe noch nicht ganz den Durchblick
> wie ich vorgehen soll.
Die Vorgehensweise ist so korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Sa 22.11.2008 | | Autor: | wewo |
Könntest du mir bitte erklären, warum bei dem Beispiel c1 nicht [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] ist?
lg
wewo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo wewo!
Die o.g. Bestimmungsgleichung ist nicht richtig, um [mm] $c_1$ [/mm] zu ermitteln.
Es gilt ja: $f(y=0) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*(0+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{3}}$
[/mm]
Und nun muss auch gelten:
[mm] $$c_1+c_2*0 [/mm] \ = \ [mm] c_1 [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{3}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Wie schaut dann die Bestimmung von [mm] c_2 [/mm] aus? Bin etwas daneben denn bei der ersten Bestimmung handelt es sich in dem Fall ja nicht wirklich um eine Gleichung man rechnet also nur den Ausdruck aus?
Es gilt ja: [mm] f(y=0) \ = \ \bruch{1}{3}\cdot{}(0+1)^2 \ = \ \blue{\bruch{1}{3}} [/mm]
Wie schaut das dann bei [mm] c_2 [/mm] aus, dann hätte ich ja [mm]\bruch{1}{3} + c_2.1[/mm] oder schaut die Gleichung nun
[mm]\bruch{1}{3} + c_2.1 = 1.[/mm] Wenn ja warum setzt man diese dann gleich 1 und bei der ersten Bestimmung wird ohne Nullsetzung gelöst.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Wie schaut das dann bei [mm]c_2[/mm] aus, dann hätte ich ja
> [mm]\bruch{1}{3} + c_2.1[/mm] oder schaut die Gleichung nun
> [mm]\bruch{1}{3} + c_2.1 = 1.[/mm] Wenn ja warum setzt man diese
> dann gleich 1 und bei der ersten Bestimmung wird ohne
> Nullsetzung gelöst.
Das steht doch schon in meiner Antwort von 10.47 Uhr.
Was stoert dich daran? Hast du dir schon einmal eine Skizze gemacht?
vg Luis
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Ok danke jetzt hab ichs verstanden. Die Dichtefunktion auszurechen ist kein Problem einfach Ableitung aus der Verteilungsfunktion. Eine kleine Frage hätte ich noch wie könnte ich mir hier den Erwartungswert ausrechnen?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin mathe_tipster,
muss mal nachfragen:
a) Was ist f? Die Dichte oder die Verteilungsfunktion? Wenn es die Dichte
ist, dann verstehe ich die Frage 2) nicht.
b) Muss es nicht $f(y)$ und nicht $f(n)$ heissen?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Ah, hab's kapiert, f ist die Verteilungsfunktion. (Etwas unuebliche
Notation. I.A. bezeichnet f die Dichte und F die Verteilungsfunktion).
Ich benutze jetzt deine Schreibweise. Als Verteilungsfunktion muss f
monoton steigend sein. Wegen $f(0)=1/3$ muss gelten [mm] $c_1\ge [/mm] 1/3$ (damit
kann [mm] $c_1$ [/mm] nicht $-1/3$ sein). Ausserdem ist [mm] $c_2>0$. [/mm] Schliesslich ist
[mm] $c_1+c_2\le [/mm] 1$. Mithin kannst du waehlen [mm] $c_1=c_2=1/2$ [/mm] oder [mm] $c_1=4/5$ [/mm] und
[mm] $c_2=1/5$. [/mm] Nur wenn du deine Loesung verwendest ist f *stetig*.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 22.11.2008 | | Autor: | wewo |
Hallo, nochmals ich :)
Danke für eure Antworten, jetzt ist mir das 1. Beispiel klar und vielleicht kann ich euch gleich noch zu einem ähnlichen Problem "befragen" ? :)
gegeben ist die ZV X mit der Dichte:
[mm] fx(x)=\left\{\begin{matrix}
cx(l-x)^2 , & 0 \le x \le l \\
0, & \mbox{sonst}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Wie bestimmt man hier die Konstante c?
Danke euch, wewo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo wewo!
Damit es sich um eine Dichtefunktion handelt, muss gelten:
[mm] $$\integral_{-\infty}^{+\infty}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$$
[/mm]
In Deinem Falle beschränkt sich das zu bestimmende Integral auf:
[mm] $$\integral_{0}^{l}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{l}{c*x*(l-x)^2 \ dx} [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 22.11.2008 | | Autor: | wewo |
Danke für deine Erklärung ....
Dichtefunktion = 1 ist klar, nur irgendwo steh ich noch am Schlauch, Mathe ist doch schon ein paaaar Jahre her :(
Wie komme ich nun auf einen Wert für das c?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie komme ich nun auf einen Wert für das c?
>
>
>
Bestimme doch einmal die Loesung der Loddarschen Integralgleichung.(Boah!  )
vg Luis
PS: Es waere gut, wenn du neue Aufgaben in neuen Threads stellen wuerdest. Sonst entsteht ein tierisches Kuddelmuddel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 22.11.2008 | | Autor: | wewo |
Die Lösung sollte [mm] \bruch{1}{12}cx²(6l²-8xl+3x²) [/mm] sein... das hab ich mir mit dem online integrator von wolfram ausgerechnet, denn genau hier happert es leider bei mir :(
dann setze ich x=l
[mm] \bruch{1}{12}c*l²*(6l²-8ll+3l²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}*c*l²*(9l²-8l²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}*c*l^4
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{12}{l^4}
[/mm]
lg
wewo
ps: nächstes mal, eröffne ich nen neuen thread :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Die Lösung sollte [mm]\bruch{1}{12}cx²(6l²-8xl+3x²)[/mm] sein... das
> hab ich mir mit dem online integrator von wolfram
> ausgerechnet, denn genau hier happert es leider bei mir :(
Das musst du schleunigst wieder ausgraben, wenn du demnaechst Klausuren hierzu schreiben solltest ..
>
> dann setze ich x=l
>
> [mm]\bruch{1}{12}c*l²*(6l²-8ll+3l²)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{12}*c*l²*(9l²-8l²)[/mm] = [mm]\bruch{1}{12}*c*l^4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = [mm]\bruch{12}{l^4}[/mm]
>
> lg
> wewo
>
> ps: nächstes mal, eröffne ich nen neuen thread :)
Brav!
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Erwartungswert mit Dichtefunktion