Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 12.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Gegeben sei eine differenzierbare und nicht konstante Funktion [mm] g:(\infty,\infty) \to (\infty,\infty) [/mm] und A und B als reelle Konstanten.
1.Untersuchen Sie, unter welchen Bedingungen an g, A und B die Funktion F(x):=A arctan(g(x))+B eine Verteilungsfunktion ist.
2. Geben Sie die Bedingungen dafür an, dass die Verteilungsfunktion F auf [a,b] konzentriert ist. |
1. es muss folgendes erfüllt sein: monoton wachsend(1), die Grenzwerte 1 und 0(2), rechtsstetig (3)
zu (1) habe ich mir überlegt: g(x) monoton wachsend, A positiv, B beliebig oder g(x) mon.fallend, A negativ, B beliebig. Stimmt das?
bei (2) hab ich leider keine Ahnung!
zu (3): Aus der Differenzierbarkeit von g(x) folgt Stetigkeit für g(x) und da arctan stetig ist, auch Stetigkeit für F(x), damit erst recht rechtsstetigkeit.
2. F müsste dann außerhalb des Intervalls entweder 0 oder 1 sein, oder? Aber wie finde ich dafür die Bedingungen?
Ich wäre sehr dankbar für Korrekturen+ Ergänzungen!
Tschau.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei eine differenzierbare und nicht konstante
> Funktion [mm]g:(\infty,\infty) \to (\infty,\infty)[/mm] und A und B
> als reelle Konstanten.
> 1.Untersuchen Sie, unter welchen Bedingungen an g, A und B
> die Funktion F(x):=A arctan(g(x))+B eine
> Verteilungsfunktion ist.
> 2. Geben Sie die Bedingungen dafür an, dass die
> Verteilungsfunktion F auf [a,b] konzentriert ist.
> 1. es muss folgendes erfüllt sein: monoton wachsend(1),
> die Grenzwerte 1 und 0(2), rechtsstetig (3)
Hallo,
idealerweise wäre [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}arctan(g(x))=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}arctan(g(x))=1.
[/mm]
Leider tut uns das Biest nicht den Gefallen und hat irgendwelche anderen Grenzwerte, z.B.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}arctan(g(x))=c [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}arctan(g(x))=d
[/mm]
Jetzt müssen A und B so gewählt werden, dass aus c Null und aus d Eins wird.
Also A*c+B=0 und A*d+B=1
Das ist der Fall, wenn A=1/(d-c) und B=-c(d-c) ist.
Gruß Abakus
> zu (1) habe ich mir überlegt: g(x) monoton wachsend, A
> positiv, B beliebig oder g(x) mon.fallend, A negativ, B
> beliebig. Stimmt das?
> bei (2) hab ich leider keine Ahnung!
> zu (3): Aus der Differenzierbarkeit von g(x) folgt
> Stetigkeit für g(x) und da arctan stetig ist, auch
> Stetigkeit für F(x), damit erst recht rechtsstetigkeit.
> 2. F müsste dann außerhalb des Intervalls entweder 0 oder
> 1 sein, oder? Aber wie finde ich dafür die Bedingungen?
>
> Ich wäre sehr dankbar für Korrekturen+ Ergänzungen!
>
> Tschau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Sa 13.06.2009 | | Autor: | gigi |
Morgen und besten Dank!
Kann ich das, was ich mir bei (1) und (3) überlegt habe etwa so lassen??
Und fällt jemandem was zu dem [a,b] in 2. ein??
Gruß und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 So 14.06.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo gigi,
die Punkte zu 1) sind schon okay so, wenn sie die Verteilungsfunktion in dem angegebenen Intervall konzentrieren soll, so muss doe Funktion für Werte kleiner a o sein und für Werte größer b 1 sein, sonst wäre es keine Verteilungsfunktion mehr.
Viele Grüße,
Infinit
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