Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Sa 03.03.2012 | | Autor: | flamx |
| Aufgabe | Zwei unabhängige diskrete Zufallsgrößen X un Y nehmen entsprechend folgender Tabellen Werte mit gewissen Wahrscheinlichkeiten an:
W(X) -1 1 2 W(Y) 2 1 -1
-------------------- ---------------------
pi 1/8 3/8 4/8 pi 2/9 5/9 2/9
Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße Z:= |XY|. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich kann hiermit leider gar nichts anfangen bzw nur sehr wenig. Es gibt glaube ich mehrere Verteilungsfunktion (z.B. Chi-Quadrat). Ich weiß leider nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Ich will nicht, dass mir jemand diese Aufgabe löst, denn davon habe ich nichts. Viel mehr würde ich mich freuen, wenn jemand mir jemand an einem anderen Beispiel zeigen könnte, wie ich diese Aufgabe lösen kann und ich es dann selber mit dieser Aufgabe mache. Vielen Dank an euch!
Viele Grüße Fabi
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Hallo Fabi,
> Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion der
> Zufallsgröße Z:= |XY|.
> Es gibt glaube ich mehrere Verteilungsfunktion (z.B.
> Chi-Quadrat). Ich weiß leider nicht wie ich an diese
> Aufgabe herangehen soll.
Ich glaube, du verwechselst da einiges.
Mach dir einfach mal folgende Dinge klar:
1.) Welche Werte kann Z annehmen? Warum bzw wie kommen diese zustande?
2.) Was bedeutet die Unabhängigkeit? Verwende diese und 1.) um die Wahrscheinlichkeiten für die für Z möglichen Werte.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 03.03.2012 | | Autor: | flamx |
Hallo Gono,
vielen Dank für die Antwort.
Zu 1) Werte die Z annehmen können wären doch nur 2 und 1, richtig ? Da es sich ja um den Betrag von X und Y handelt.
Zu 2) Unabhängig in meinem Fall bedeutet doch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür das X eintritt, unabhängig davon ist, ob Y zuvor eingetreten ist oder eben nicht. Ist das richtig? Und wie hilft mir das jetzt an die Verteilungsfunktion zu kommen ?
Danke für die mega schnelle Antwort :)
Gruß Fabi
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Hiho,
> Zu 1) Werte die Z annehmen können wären doch nur 2 und 1,
> richtig ? Da es sich ja um den Betrag von X und Y handelt.
nein. Es handelt sich um den Betrag von X MAL Y.
Also fehlt da noch ein Wert, den Z annehmen kann.
> Zu 2) Unabhängig in meinem Fall bedeutet doch, dass die
> Wahrscheinlichkeit dafür das X eintritt, unabhängig davon
> ist, ob Y zuvor eingetreten ist oder eben nicht.
Ja, anschaulich gesehen ist es das.
Ich meinte aber eigentlich eher im Sinne der Verteilungsfunktionen.
Du hast ja hier bspw. gegeben:
[mm] $\IP( [/mm] X = -1) = [mm] \bruch{1}{8}$ [/mm] sowie [mm] $\IP(Y [/mm] = -1) = [mm] \bruch{2}{9}$
[/mm]
Was wäre denn nun die Wahrscheinlichkeit [mm] $\IP( [/mm] X = -1, Y = -1)$ ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 03.03.2012 | | Autor: | flamx |
Ah dann fehlt mir also noch der Wert 4 (2x2).
Dann hab ich also quasi 3 Werte.
Zu deiner Frage:
Die Wahrscheinlichkeit wäre dann glaube ich
1/8 + 2/9 = 25/72.
Das heißt ich suche also eine Funktion F(X) die mir angibt welche Wahrscheinlichkeiten ich für die oben genannten 3 Werte habe. So oder so ähnlich muss es gehen glaub ich :)
Danke nochmal das du mir hilfst!
Gruß Fabi> Hiho,
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Hiho,
> Ah dann fehlt mir also noch der Wert 4 (2x2).
> Dann hab ich also quasi 3 Werte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu deiner Frage:
> Die Wahrscheinlichkeit wäre dann glaube ich
> 1/8 + 2/9 = 25/72.
Nein.
Im Allgemeinen kann man dann eben keine Aussage darüber treffen, wie wahrscheinlich das ist.
Bei Unabhängigkeit geht das aber, dann ist das nämlich das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten (nicht die Summe).
Die Summe kannst du von Ereignissen bilden, die disjunkt sind (d.h. von Ereignissen, die nicht gleichzeitig auftreten können).
Das wirst du gleich brauchen, denn versuche bspw mal das Ereignis $Z=1$ in disjunkte Einzelwahrscheinlichkeiten zu zerlegen, die du kennst.
> Danke nochmal das du mir hilfst!
dafür sind wir da 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 03.03.2012 | | Autor: | flamx |
> Hiho,
>
> > Ah dann fehlt mir also noch der Wert 4 (2x2).
> > Dann hab ich also quasi 3 Werte.
>
>
>
> > Zu deiner Frage:
> > Die Wahrscheinlichkeit wäre dann glaube ich
> > 1/8 + 2/9 = 25/72.
>
> Nein.
> Im Allgemeinen kann man dann eben keine Aussage darüber
> treffen, wie wahrscheinlich das ist.
>
> Bei Unabhängigkeit geht das aber, dann ist das nämlich
> das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten (nicht die
> Summe).
>
> Die Summe kannst du von Ereignissen bilden, die disjunkt
> sind (d.h. von Ereignissen, die nicht gleichzeitig
> auftreten können).
> Das wirst du gleich brauchen, denn versuche bspw mal das
> Ereignis [mm]Z=1[/mm] in disjunkte Einzelwahrscheinlichkeiten zu
> zerlegen, die du kennst.
Das ist doch 3/8 + 5/9 = 67/72.
Aber inwiefern bin ich jetzt weiter was die Verteilungsfunktion angeht?
Grüße Fabi
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Hiho,
> Das ist doch 3/8 + 5/9 = 67/72.
na nu erklär mal, wie du darauf kommst.
Einfach eine Pseudorechnung hinwerfen, damit kann man dir leider nicht helfen.
> Aber inwiefern bin ich jetzt weiter was die
> Verteilungsfunktion angeht?
Nunja, die Verteilung kennst du ja, wenn du die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Werte kennst, die Z annehmen kann.
Rechnest du diese aus, hast du deine Verteilung und damit deine Verteilungsfunktion bestimmt.
Bestimme nun also:
[mm] $\IP(Z [/mm] = 1)$
[mm] $\IP(Z [/mm] = 2)$
[mm] $\IP(Z [/mm] = 4)$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | flamx |
> Hiho,
>
> > Das ist doch 3/8 + 5/9 = 67/72.
>
> na nu erklär mal, wie du darauf kommst.
> Einfach eine Pseudorechnung hinwerfen, damit kann man dir
> leider nicht helfen.
>
> > Aber inwiefern bin ich jetzt weiter was die
> > Verteilungsfunktion angeht?
>
> Nunja, die Verteilung kennst du ja, wenn du die
> Wahrscheinlichkeit aller möglichen Werte kennst, die Z
> annehmen kann.
> Rechnest du diese aus, hast du deine Verteilung und damit
> deine Verteilungsfunktion bestimmt.
>
> Bestimme nun also:
>
> [mm]\IP(Z = 1)[/mm]
> [mm]\IP(Z = 2)[/mm]
> [mm]\IP(Z = 4)[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Damit hab ich also:
Für 1: 3/8 + 5/9 = 67/72
Für 2: 4/8 + 2/9 = 13/18
Für 4: 4/8 * 2/9 = 1/9 <<< hier bin ich mir absolut nicht sicher.
Und wie schreib ich diese Funktion dann auf ? Also komplett?
Gruß Fabi
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Hiho,
vorweg: Du hast wieder nur Zahlen hingeknallt, aber mit keiner Silbe erwähnt, wie du darauf gekommen bist.
So lässt sich im Fehlerfall nicht erkennen, wo du Probleme hast.
Also zukünftig bitte MIT Lösungsweg (wie bei der Übung halt auch).
> > Bestimme nun also:
> >
> > [mm]\IP(Z = 1)[/mm]
> > [mm]\IP(Z = 2)[/mm]
> > [mm]\IP(Z = 4)[/mm]
Dann mal das einfachste zuerst, amüsanterweise ist es der Fall, wo du dir nicht sicher bist:
> Für 4: 4/8 * 2/9 = 1/9 <<< hier bin ich mir absolut nicht sicher.
Der Fall ist halt der einfachste, weil es hier nur einen Fall gibt, wie man auf 4 kommt und da liefert dir die Unabhängigkeit eben sofort dein Ergebnis, denn:
[mm] $\IP(Z [/mm] = 4) = [mm] \IP(X=2, [/mm] Y=2) = [mm] \IP(X=2)*\IP(Y=2) [/mm] = [mm] \bruch{4}{8}*\bruch{2}{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}$
[/mm]
> Für 1: 3/8 + 5/9 = 67/72
> Für 2: 4/8 + 2/9 = 13/18
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Und hier haben wir genau den oben genannten Fall. Deine Ergebnisse stimmen nicht, ohne Rechenweg kann man dir nicht sagen, wo der Fehler liegt (auch wenn ich ne Ahnung hab).
Dein Fehler ist einfach: Du hast nicht alle Fälle berücksichtigt, die auftreten können und hast dann noch unsauber gerechnet.
Daher machen wir es nun schrittweise: Fangen wir mir $Z=1$ mal an. Welche Kombinationen für X und Y gibt es, damit Z=1 gilt? Mach dir klar, dass alle Kombinationen als Ereignisse disjunkt sind (du das Gesamtereignis also als Summe über alle Kombinationen schreiben kannst).
Erstmal soweit, dann der nächste Schritt.
Als Anmerkung: Prüfen ob deine Verteilung nachher richtig ist, kannst du ganz einfach, indem du aufsummierst. Die Summe muss natürlich 1 ergeben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 04.03.2012 | | Autor: | flamx |
> Hiho,
>
> vorweg: Du hast wieder nur Zahlen hingeknallt, aber mit
> keiner Silbe erwähnt, wie du darauf gekommen bist.
> So lässt sich im Fehlerfall nicht erkennen, wo du
> Probleme hast.
> Also zukünftig bitte MIT Lösungsweg (wie bei der Übung
> halt auch).
>
> > > Bestimme nun also:
> > >
> > > [mm]\IP(Z = 1)[/mm]
> > > [mm]\IP(Z = 2)[/mm]
> > > [mm]\IP(Z = 4)[/mm]
>
> Dann mal das einfachste zuerst, amüsanterweise ist es der
> Fall, wo du dir nicht sicher bist:
>
> > Für 4: 4/8 * 2/9 = 1/9 <<< hier bin ich mir absolut nicht
> sicher.
>
>
>
> Der Fall ist halt der einfachste, weil es hier nur einen
> Fall gibt, wie man auf 4 kommt und da liefert dir die
> Unabhängigkeit eben sofort dein Ergebnis, denn:
>
> [mm]\IP(Z = 4) = \IP(X=2, Y=2) = \IP(X=2)*\IP(Y=2) = \bruch{4}{8}*\bruch{2}{9} = \bruch{1}{9}[/mm]
>
> > Für 1: 3/8 + 5/9 = 67/72
> > Für 2: 4/8 + 2/9 = 13/18
>
>
>
> Und hier haben wir genau den oben genannten Fall. Deine
> Ergebnisse stimmen nicht, ohne Rechenweg kann man dir nicht
> sagen, wo der Fehler liegt (auch wenn ich ne Ahnung hab).
>
> Dein Fehler ist einfach: Du hast nicht alle Fälle
> berücksichtigt, die auftreten können und hast dann noch
> unsauber gerechnet.
>
> Daher machen wir es nun schrittweise: Fangen wir mir [mm]Z=1[/mm]
> mal an. Welche Kombinationen für X und Y gibt es, damit
> Z=1 gilt? Mach dir klar, dass alle Kombinationen als
> Ereignisse disjunkt sind (du das Gesamtereignis also als
> Summe über alle Kombinationen schreiben kannst).
>
> Erstmal soweit, dann der nächste Schritt.
>
> Als Anmerkung: Prüfen ob deine Verteilung nachher richtig
> ist, kannst du ganz einfach, indem du aufsummierst. Die
> Summe muss natürlich 1 ergeben.
>
> MFG,
> Gono.
Guten Morgen,
also ich versuch es mal:
Es gibt ja genau 2 Möglichkeiten insgesamt, damit Z = 1 gilt.
Für X wäre das die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{3}{8} [/mm] und für Y die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{5}{9}.
[/mm]
Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, muss ich die zwei Brüche ebenso multiplizieren wie bei meinem Fall wo ich so unsicher war.
Dann hätte ich also für die Verteilungsfunktion F(X):
F(X) = [mm] (\bruch{3}{8}\*\bruch{5}{9}) [/mm] + [mm] (\bruch{4}{8}\*\bruch{5}{9}) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{8}\*\bruch{2}{9}) [/mm] + [mm] (\bruch{4}{8}\*\bruch{2}{9})
[/mm]
Also ich habe quasi jede Kombination jetzt aufgeschrieben um auf die die Werte für Z zu kommmen (Z = 1, 2 oder 4) und als Summe dann aufgeschrieben. Aber irgendetwas kann noch nicht stimmen, da in Summe komme ich leider nicht auf 1.
Ist mein Ansatz richtig?
Gruß Fabi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 04.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Fabi,
so aus der Ferne ist es schwierig zu sagen, wo du dich verrechnest hast. Geh doch mal so an die Aufgabe. Erstelle zunaechst eine Tabelle der *gemeinsamen* Wahrscheinlichkeitsfuntion, also von
$P(X=x,Y=y)_$. Bei mir sieht die etwas so aus:
| 1: | 2 1 -1
| | 2: | -1 2/72 5/72 2/72
| | 3: | 1 6/72 15/72 6/72
| | 4: | 2 8/72 20/72 8/82
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Nun erstelle eine weitere Tabelle mit Werten von $Z=|XY|_$. Bei mir sieht die etwas so aus:
| 1: | 2 1 -1
| | 2: | -1 2 1 1
| | 3: | 1 2 1 1
| | 4: | 2 4 2 2
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"Sammle" nun alle Wahrscheinlichkeiten mit identischen $z_$-Werten. So findest du fuer $z=1_$ vier Summanden ...
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 04.03.2012 | | Autor: | flamx |
Hey,
jetzt habe ich glaub verstanden wie es gemeint ist.
Durch die Tabelle habe ich die verschiedenen Möglichkeiten erkannt die es gibt um quasi
Z = |XY| zu erfüllen.
Wenn ich das jetzt so als Summe schreiben
F(X) = [mm] \bruch{5}{72} [/mm] + [mm] \bruch{2}{72} [/mm] + [mm] \bruch{15}{72} [/mm] + [mm] \bruch{6}{72} [/mm] + [mm] \bruch{2}{72} [/mm] + [mm] \bruch{6}{72} [/mm] + [mm] \bruch{20}{72} [/mm] + [mm] \bruch{8}{72} [/mm] + [mm] \bruch{8}{72}
[/mm]
dann komme ich wenn ich das zusammenzähle genau auf 1.
Ist das jezt meine Verteilungsfunktion? Bin ich damit schon am Ende?
Grüße Fabi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 04.03.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hey,
>
> jetzt habe ich glaub verstanden wie es gemeint ist.
> Durch die Tabelle habe ich die verschiedenen Möglichkeiten
> erkannt die es gibt um quasi
> Z = |XY| zu erfüllen.
>
> Wenn ich das jetzt so als Summe schreiben
>
> F(X) = [mm]\bruch{5}{72}[/mm] + [mm]\bruch{2}{72}[/mm] + [mm]\bruch{15}{72}[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{72}[/mm] + [mm]\bruch{2}{72}[/mm] + [mm]\bruch{6}{72}[/mm] +
> [mm]\bruch{20}{72}[/mm] + [mm]\bruch{8}{72}[/mm] + [mm]\bruch{8}{72}[/mm]
Was bitte ist $F(X)_$?
>
> dann komme ich wenn ich das zusammenzähle genau auf 1.
> Ist das jezt meine Verteilungsfunktion? Bin ich damit
> schon am Ende?
Noch nicht. Zu bestimmen ist [mm] $P(Z\le [/mm] z)_$ fuer jedes [mm] $z\in\IR$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 06.03.2012 | | Autor: | flamx |
Hi zusammen,
F(X) so haben wir immer unsere Verteilungsfunktion genannt.
Ich habe es jetzt so gemacht, dass ich erst mal 2 Tabellen aufgestellt habe und zwar folgende:
Diese Tabelle beinhaltet alle möglichen Werte für Z:= |XY|
Z | 2 1 -1
-----------------
-1 | 2 1 1
1 | 2 1 1
2 | 4 2 2
Aus dieser Tabelle habe ich die zusammengesetzten Wahrscheinlichkeiten für die Werte von Z berechnet.
Die Tabelle sieht dann irgendwie so aus:
------------------------
| 2/72 5/72 2/72
| 6/72 15/72 6/72
| 8/72 20/72 8/72
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Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Kombinationen habe ich einfach multipliziert.
Und nun bilde ich einfach die Summen für die möglichen Werte von Z (1,2,4) entsprechend der ersten Tabelle.
Raus kommt dann schlussendlich das hier wenn es stimmt:
[mm] F(X)=\begin{cases} 7/18, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 1} \\ 1/2, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 2} \\ 1/9, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 4} \end{cases}
[/mm]
Wenn das stimmen sollte, dann fehlt mir nur noch die Zeichnung. Aber erst mal soweit.
Passt mein Ergebnis ?
Grüße Fabi
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Hallo flamx,
> Hi zusammen,
>
> F(X) so haben wir immer unsere Verteilungsfunktion
> genannt.
>
> Ich habe es jetzt so gemacht, dass ich erst mal 2 Tabellen
> aufgestellt habe und zwar folgende:
>
> Diese Tabelle beinhaltet alle möglichen Werte für Z:=
> |XY|
>
>
> Z | 2 1 -1
> -----------------
> -1 | 2 1 1
>
> 1 | 2 1 1
>
> 2 | 4 2 2
>
> Aus dieser Tabelle habe ich die zusammengesetzten
> Wahrscheinlichkeiten für die Werte von Z berechnet.
> Die Tabelle sieht dann irgendwie so aus:
>
> ------------------------
> | 2/72 5/72 2/72
>
> | 6/72 15/72 6/72
>
> | 8/72 20/72 8/72
>
> |
>
> Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Kombinationen
> habe ich einfach multipliziert.
>
> Und nun bilde ich einfach die Summen für die möglichen
> Werte von Z (1,2,4) entsprechend der ersten Tabelle.
>
> Raus kommt dann schlussendlich das hier wenn es stimmt:
>
> [mm]F(X)=\begin{cases} 7/18, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 1} \\ 1/2, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 2} \\ 1/9, & \mbox{für } |XY| = \mbox{ 4} \end{cases}[/mm]
>
> Wenn das stimmen sollte, dann fehlt mir nur noch die
> Zeichnung. Aber erst mal soweit.
> Passt mein Ergebnis ?
>
Ja, das Ergebnis passt.
> Grüße Fabi
>
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mi 07.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich tu's ungern, aber ich muss MathePower widersprechen.
Zu bestimmen ist die *Verteilungsfunktion* von $Z=|XY|_$, also
[mm] $F(z)=P(Z\le [/mm] z)$ fuer [mm] $z\in\IR$. [/mm] Sie ist gegeben durch
[mm] F(z)=\begin{cases} 0, & z<1,\\
7/18, & 1\le z<2, \\ 16/18, & 2\le z<4, \\
18/18, & 4\le z. \end{cases} [/mm]
vg Luis
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