Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Mir ist diese Verteilungsfunktion gegeben:
[mm] $F(x)=1-(1-x)\cdot e^{-x}$ [/mm] für $x [mm] \geq [/mm] 0$ und $F(x) = 0$ für alle anderen x
Ich soll nun die Dichtefunktion angeben und die Wahrscheinlichkeiten im Intervall [1,5; 3] berechnen. |
Die Dichtefunktion bekommt man ja ganz leicht in dem man die Verteilungsfunktion ableitet:
$f(x) = (F(x))'$
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(x) = x [mm] \cdot e^{-x}$ [/mm] für $x [mm] \geq [/mm] 0$ und $f(x) = 0$ für $x < 0$
Nun noch die Wahrscheinlichkeiten im oben gegebenen Intervall berechnen. Diese berechnen sich ja aus der Verteilungsfuntion F(x):
$P(1,5 [mm] \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 3) = F(3) - F(1,5) = 1,09957... - 1,11157... [mm] \approx [/mm] -0,012$
Laut meiner Lösung stimmt die differenzierte Dichtefunktion, aber das Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit ist falsch. Was hab ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
plotte mal die Funktion mit funkyplot, dann wirst Du sehen, daß es keine Verteilungsfunktion ist.
[mm] $F(x)=\begin{cases}0&\text{für } x<0\\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}&\text{für }\ldots \\ 1&\text{für }\ldots\end{cases} [/mm] $
ist eine, wenn Du die [mm] $\ldots$ [/mm] passend ersetzt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Diese Funktion F(x) wird aber sogar in der Aufgabe als Verteilungsfunktion angegeben! Warum soll das dann keine Verteilungsfunktion sein?
In Wikipedia und in meinem Skript steht, dass durch Integration der Dichtefunktion die Verteilungsfunktion zu Stande kommt. Und ich soll hier durch Differentiation der Verteilungsfunktion die Dichtefunktion berechnen.
Warum passt das so nicht?
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Hallo bandchef,
> Diese Funktion F(x) wird aber sogar in der Aufgabe als
> Verteilungsfunktion angegeben! Warum soll das dann keine
> Verteilungsfunktion sein?
>
> In Wikipedia und in meinem Skript steht, dass durch
> Integration der Dichtefunktion die Verteilungsfunktion zu
> Stande kommt. Und ich soll hier durch Differentiation der
> Verteilungsfunktion die Dichtefunktion berechnen.
>
> Warum passt das so nicht?
Die Verteilungsfunktion
[mm]F(x)=1-(1-x)\cdot e^{-x}[/mm]
ist nicht für alle [mm] x \ge 0[/mm] monoton steigend.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Auch wenn die Verteilungsfunktion nicht für alle x monoton steigend ist, darf ich sie doch ableiten, oder?
Die Frage ist eher, warum ich nicht auf das Ergebnis der Lösung komme, wenn ich am Schluss die Wahrscheinlichkeiten über das gegebene Intervall mit der Verteilungsfunktion F(x) berechnen will...
Was passt da nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
> Auch wenn die Verteilungsfunktion nicht für alle x monoton steigend ist, darf ich sie doch ableiten, oder?
Du darfst eine Funktion ableiten, wenn sie differenzierbar ist. Dafür muß es keine Verteilungsfunktion sein.
> Die Frage ist eher, warum ich nicht auf das Ergebnis der Lösung komme, wenn ich am Schluss die Wahrscheinlichkeiten über das gegebene Intervall mit der Verteilungsfunktion F(x) berechnen will...
Das haben wir Dir mittlerweile 2mal geschrieben.
Du kannst Dir entweder meine Antwort nochmal vollständig durchlesen, und F wie dort beschrieben modifizieren, oder Du kannst Dich weiterhin wundern, warum Deine Funktion, die keine Verteilungsfunktion ist, sich nicht wie eine Verteilungsfunktion verhält.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich hab die Funktion F(x) nun geplottet. Ich bekomme da eine Funktion die durch den Nullpunkt geht für negative x geht sie gegen unendlich und für positive x nähert sie sich 1 an...
$ [mm] F(x)=\begin{cases}0&\text{für } x<0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}&\text{für } x<0 \\ 1&\text{für }x=1\end{cases} [/mm] $
Das brint mich aber jetzt auch nicht weiter...
Kann es eventuell an der Aufgabenstellung liegen?
Hier nochmal komplett:
Die stetige Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion
$ [mm] F(x)=1-(1-x)\cdot e^{-x} [/mm] $ für $ x [mm] \geq [/mm] 0 $ und $ F(x) = 0 $ für alle anderen x
Man bestimme die Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße Werte annimmt, die Intervall [1,5; 3] liegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Was ist denn eine Verteilungsfunktion? Was ist ihre Definition?
> $ [mm] F(x)=\begin{cases}0&\text{für } x<0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}&\text{für } x<0 \\ 1&\text{für }x=1\end{cases} [/mm] $
Also für x<0 ist die Funktion sowohl 0 als auch [mm] $1-(1-x)\cdot e^{-x}$ [/mm] und für x=1 ist sie 1, aber sonst gibt es keine Funktion?
Deine Antwort muß ja nicht gleich auf Anhieb perfekt sein, aber ein Mindestmaß Sorgfalt wäre nett...
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 24.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Entschuldige bitte!
Natürlich muss es so heißen:
$ [mm] F(x)=\begin{cases}0&\text{für } x=0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}&\text{für } x<0 \\ 1&\text{für }x=1\end{cases} [/mm] $
Wenn ich für x, 0 einsetze, dann komm ich auf 0. Jetzt müsste es passen.
Aber weiter verstehe ich das ganze leider immer noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Do 24.05.2012 | | Autor: | Blech |
$ [mm] F(x)=\begin{cases}0&\text{für } x=0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}&\text{für } x<0 \\ 1&\text{für }x=1\end{cases} [/mm] $
[mm] $1-(1-x)\cdot e^{-x}$ [/mm] ist für x<0 auch kleiner 0
Und für z.B. x=3 weiß ich immer noch nicht, was die Funktion dann sein soll.
Nochmal:
Was ist eine Verteilungsfunktion?
Die vollständige Definition sind vielleicht 2 (deutsche, nicht mathematische) Sätze; die findest Du in Deinem Skript und deren Bedeutung hämmern wir dann Stück für Stück aus.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 25.05.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] F(x)=\begin{cases}1-(1-x)\cdot e^{-x}<0&\text{für } x<0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}=0&\text{für } x=0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x} \to 1&\text{für }x > 0 \end{cases} [/mm] $
Eine Verteilungsfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable beschreibt. Alle die Zufallsvariable betreffenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion auswerten.
Soweit richtig?
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Hallo bandchef,
> [mm]F(x)=\begin{cases}1-(1-x)\cdot e^{-x}<0&\text{für } x<0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x}=0&\text{für } x=0 \\ 1-(1-x)\cdot e^{-x} \to 1&\text{für }x > 0 \end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist negativ für x<0. Das kann doch gar nicht sein !
Und was hier für x>0 passiert ist gar nicht klar.
Denke bitte, bevor du die nächste Frage stellst noch einmal gründlich nach.
>
>
> Eine Verteilungsfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion die die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable beschreibt. Alle die Zufallsvariable betreffenden
> Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion auswerten.
Schreib noch einmal hin, was es mathematisch bedeutet, eine Verteilungsfunktion zu sein. Ich glaube nicht, dass dir das klar ist, sonst würdest du nicht so rumraten.
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:45 Sa 26.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich hab mir jetzt nochmal Gedanken gemacht. Ich glaub ich hab schon mal ein grundsätzliches Problem mit dieser Darstellung aus der Aufgabe:
$ [mm] F(x)=\begin{cases}1-(1-x) \cdot e^{-x}&\text{für } x \geq 0 \\ 0&\text{sonst } \end{cases} [/mm] $
So steht das in der Aufgabe. Ich verstehe das so: Für [mm] $x\geq [/mm] 0$gilt die Funktion. An den übrigen x-Werten ist die Funktion 0.
Eine Verteilungsfunktion ist nur zwischen 0 und 1 definiert, stimmt doch oder?
$F: [mm] \to \mathbb [/mm] R [ 0,1 ]$
F ist monoton steigen
F ist rechtsseitig monoton steigend
Edit: Ich hab's nun endlich kapiert!!! Die Aufgabe hat einen Fehler! Das Minus innerhalb der Klammer MUSS ein Plus sein! Das steht falsch auf meinem Zettel! Jetzt verstehe ich auch endlich die Verteilungsfunktion und warum ihr da so vehement nachgefragt habt!
Thread kann geschlossen werden. Ich komme nun endlich auf das richtige Ergebnis!
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