Verteilungsfunktion/Borel-Alg. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich versuche mich durch ein Skript zu kämpfen und hänge an einer Stelle fest, wäre super wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Zunächst wird der Begriff Zufallsvariable X definiert, dann die Verteilungsfunktion F(x):=P(X [mm] \le [/mm] x)
Darunter steht nun folgender Satz: "Durch die Verteilungsfunktion sind alle Wahrscheinlichkeiten P(X [mm] \in [/mm] A) mit A [mm] \in \mathcal{B}^{1} [/mm] bestimmt, da die Ereignisse [mm] \{(- \infty,b]\} [/mm] die Borel-Sigma-Algebra erzeugen."
[mm] (\mathcal{B}^{1} [/mm] soll Borel-Sigma-Algebra auf [mm] \IR [/mm] sein)
(b soll wenn ich das richtig verstanden habe immer beliebig aus [mm] \IR [/mm] sein)
Den kursiven Satzteil verstehe ich nicht, was genau bedeutet "die Sigma-Algebra erzeugen? Heißt dass das alle Elemente der Sigma-Algebra aus den Ereignissen [mm] \{(- \infty,b]\} [/mm] mit Schnitt und Vereinigung gebildet werden können?
Falls das so ist, könnte ich dann ja (theoretisch) aus den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse [mm] \{(- \infty,b]\} [/mm] mithilfe der Verteilungsfunktion und den Rechenregeln für Schnitt/Vereinigung die Wahrscheinlichkeit für jede Borel-Menge bestimmen, oder?
Danke!
Gruß drjonezay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi DrJonezay,
ja, ich würde sagen so ist es.
L G walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 31.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Die erzeugte o-algebra ist die kleinste o-algebra, die die gegebene menge
enthält. Und sie wird duch vereinigungsbildung (abzählbar viele Mengen
höchstens!) und komplementbildung gewonnen.
Aber es stimmt dass man daher tatsächlich die w-funktion für die borelmengen
berechnen kann, theoretisch zumindest. Praktisch allerdings nicht,
denn wenn [mm] A=A_1 \cup A_2 [/mm] mit [mm] A_1, A_2 [/mm] nicht disjunkt, und
man kennt [mm] A_1 \cap A_2 [/mm] nicht, müsste man dann also erneut zerlegen, etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 So 02.04.2006 | | Autor: | DrJonezay |
gruß drjonezay
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