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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 19.04.2015 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsavriablen [mm] X_{n} [/mm] und finde heraus, ob die Folge für n -> [mm] \infty [/mm] in Verteilung konvergiert. Wenn ja zu welcher Verteilung, wenn nein, was passiert im Limes?
[mm] P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm] k=1,...,n , n [mm] \in [/mm] N |
Hallo,
Die Verteilungsfunktion ist definiert [mm] F_{X_{n}}(t) [/mm] = P [mm] (X_{n} \le [/mm] t). Für t <0 ist P [mm] (X_{n} \le [/mm] t) = 0, weil dann ja [mm] X_{n} [/mm] null ist.
Und jetzt kommt der Fall, den ich nicht verstehe: wenn 1 [mm] \le [/mm] t, dann ist P [mm] (X_{n} \le [/mm] t) = 1.
Wieso ist es dann 1??
Und für 1/(d+1) <t< 1/d (wobei d [mm] \in [/mm] N) ist es d/n.
Kann mir wer weiterhelfen? Danke und lg :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 19.04.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin,
[mm] $X_n$ [/mm] nimmt die Werte [mm] $1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1$ [/mm] an. Dabei ist $1$ der groesste Wert. Folglich ist [mm] $P(X_{n} \le [/mm] t) = 1$ fuer [mm] $1\le [/mm] t$.
Vielleicht hilft dir das schon auf die Spruenge ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 19.04.2015 | | Autor: | Kosamui |
Wieso nimmt [mm] X_{n} [/mm] die Werte $ [mm] 1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1 [/mm] $
an? Es ist doch $ [mm] P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm] $, wie kommt man da auf $ [mm] 1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1 [/mm] $ ? Müsste es nicht 1/1,1/2,....1/n sein?
Sorry aber ich verstehe es nocht nicht.
LG und danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 19.04.2015 | | Autor: | luis52 |
> Wieso nimmt [mm]X_{n}[/mm] die Werte
> [mm]1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1[/mm]
> an? Es ist doch [mm]P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm], wie kommt man da auf
> [mm]1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1[/mm] ? Müsste es nicht
> 1/1,1/2,....1/n sein?
Das stimmt, da war ich zu schlampig. Aber $ [mm] P(X_{n} \le [/mm] t) = 1 $ fuer $ [mm] 1\le [/mm] t $ bleibt auch dann korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 19.04.2015 | | Autor: | Kosamui |
okay danke, dann ist das jz klar. Aber wieso ist 1/(d+1) <t< 1/d im Fall sonst?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 19.04.2015 | | Autor: | luis52 |
> okay danke, dann ist das jz klar. Aber wieso ist 1/(d+1)
> <t< 1/d im Fall sonst?
ie Vorgabe $1/(d+1) <t< 1/d$ (wobei $d [mm] \in [/mm] N$) ist es $d/n$ macht keinen Sinn.
Korrekturversuch: [mm] $P(X_n\le [/mm] t)=d/n$ fuer [mm] $1/(n+1-d)\le [/mm] t< 1/(n-d)$, [mm] $d=1,2,\dots,n-1$.
[/mm]
Zeichne zum besseren Verstaendnis einmal die Verteilungsfunktion z.B. von [mm] $X_4$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 19.04.2015 | | Autor: | Kosamui |
Hmm beim zeichnen tu ich mir schwer, weil ich irgendwie noch nicht richtig verstehe wie die Funktion ausschauen sollte. Wenn die x-Achse bei mir [mm] X_{n} [/mm] ist und die y Achse F(t), dann entsteht eine Kurve die mit höherem n abfällt und Richtung null geht.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 19.04.2015 | | Autor: | luis52 |
[mm] $F_{X_4}$ [/mm] ist eine Treppenfunktion mit Stufen der Hoehe [mm] $1/4,\, 2/4,\, 3/4,\,4/4$ [/mm] bei [mm] $x=1/4,\,1/3,\,1/2,\,1$ [/mm] ...
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