Verteilungsfunktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf einem Jahrmarkt steht eine Jahrmarktbude, die durch 10000 Gluhbirnen beleuchtet ¨
wird. Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte Glühbirne zu 99,5% noch intakt ist, ¨
nachdem der Jahrmarkt vorbei ist. Die Glühbirnen gehen dabei unabhängig voneinander
kaputt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle Birnen ausfallen?
b) keine Birne ausfällt?
c) mindestens eine Birne ausfällt?
d) genau eine Birne ausfällt? |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich wollte wissen, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe. Ich habe hier die Bernoulli- Verteilung vorausgesetzt.
A: "Genau eine Glühbirne intakt", [mm] $\overline{A}$: [/mm] "Genau eine Glühbirne nicht intakt".
a) [mm] $P(\overline{A}=10000)=0,05^{10000}$
[/mm]
b) [mm] $P(A=10000)=0,95^{10000}$
[/mm]
c) [mm] $P(\overline{A}\ge 1)=\summe_{i=1}^{10000}0,05^{i}*0,95^{10000-i}$
[/mm]
d) [mm] $P(\overline{A}=1)=0,05*0,95^{9999}$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:14 So 01.05.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Christoph!
> Auf einem Jahrmarkt steht eine Jahrmarktbude, die durch
> 10000 Gluhbirnen beleuchtet ¨
> wird. Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte
> Glühbirne zu 99,5% noch intakt ist, ¨
> nachdem der Jahrmarkt vorbei ist. Die Glühbirnen gehen
> dabei unabhängig voneinander
> kaputt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
>
> a) alle Birnen ausfallen?
> b) keine Birne ausfällt?
> c) mindestens eine Birne ausfällt?
> d) genau eine Birne ausfällt?
>
>
>
>
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich wollte wissen, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet
> habe. Ich habe hier die Bernoulli- Verteilung
> vorausgesetzt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Bernoulli-Verteilung verwendet man, wenn ein Experiment zwei Ausgänge, nämlich "Erfolg" und "Misserfolg".
Bei deiner Aufgabe wird so ein Bernoulli-Experiment 10000 Mal identisch durchgeführt (für jede Glühbirne einmal). Dann spricht man von einer Binomial-Verteilung.
> A: "Genau eine Glühbirne intakt", [mm]\overline{A}[/mm]: "Genau
> eine Glühbirne nicht intakt".
Das kann man so definieren, ist aber nicht hilfreich. A ist ein Ereignis. Besser ist es, eine Zufallsvariable zu definieren, z.B.
X: Anzahl der intakten Glühbirnen
Da X wie oben angegeben binomialverteilit ist, berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten ihrer Werte mit der Formel
$P(X=k) = [mm] \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
[/mm]
Hierbei bedeutet $p$ die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg bei der einmaligen Durchführung des Experiments, $n$ ist die Anzahl der Durchführungen.
> a) [mm]P(\overline{A}=10000)=0,05^{10000}[/mm]
Diese Schreibweise macht keinen Sinn. Was soll [mm] "$\overline{A}=10000$" [/mm] bedeuten? "Genau eine Glühbirne nicht intakt ist gleich 10000"?
Verwendet man die Zufallsvariable X, macht die Schreibweise Sinn:
Wenn alle Birnen ausfallen, sind 0 Birnen intakt. Also ist gesucht
P(X=0)=...
Verwendet man die Formel oben, liefert sie auch das Ergebnis [mm] $0{,}05^{10000}$.
[/mm]
> b) [mm]P(A=10000)=0,95^{10000}[/mm]
Schreibweise , Ergebnis ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c) [mm]P(\overline{A}\ge 1)=\summe_{i=1}^{10000}0,05^{i}*0,95^{10000-i}[/mm]
Schreibweise und Ergebnis . Der Vergleich mit der Formel oben zeigt, dass in jedem Summanden der Binomialkoeffizient [mm] $\binom{10000}{i}$ [/mm] fehlt.
Außerdem ist hier vorteilhaft, zum Gegenereignis überzugehen:
[mm] $P(X\ge [/mm] 1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=...$
> d) [mm]P(\overline{A}=1)=0,05*0,95^{9999}[/mm]
Schreibweise und Ergebnis
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc,
danke für deine ausführliche Mitteilung. Mein Tutor meinte, dass die Aufgabe Bernoulli-verteilt ist.
Ich habe es noch mal gerechnet.
a) [mm] $1-P(X=10000)=1-(\frac{199}{200})^{10000}$
[/mm]
b) [mm] $P(X=10000)=\vektor{10000 \\ 10000} *(\frac{199}{200})^{10000}*(\frac{1}{200})^0=(\frac{199}{200})^{10000}$
[/mm]
[mm] c)$P(X\ge 1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-1*1*(\frac{1}{200})^{10000}=1-(\frac{1}{200})^{10000}$
[/mm]
[mm] d)$1-P(X=1)=1-(10000*\frac{199}{200}*\frac{1}{200}^{999})=1-9950*\frac{1}{200}^{999}$
[/mm]
Ich hoffe es ist richtig.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 04.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Christoph,
Vorsicht mit der Notation. Du meinst wohl eher "A = Anzahl der intakten Glühbirnen".
Du rechnest momentan mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit pro Glühbirne von 5%, nicht von 0,5%!
Du musst alle Deine vier Rechnungen entsprechend korrigieren.
Bei (c) würde ich es einfacher so machen: 1 - P(A=0) - P(A=1).
Bei (d) fehlt noch ein Korrekturfaktor "n über k" aus der Binomialverteilung:
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Schließlich gibt es 10.000 Kombinationen, wie dieses Ergebnis zustande kommen kann.
Dieser Faktor ist in diesem Fall = 10.000.
Viele Grüße, Erik
|
|
|
|
