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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Welche der folgenden auf [mm] \IR [/mm] definierten Funktionen sind stets Verteilungsfkten, wobei [mm] F,G,F_{i} [/mm] Verteilungsfkt und [mm] a\in\IR, b\in(0,\infty),n\in\IN, a_{i}\in(0,\infty) [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{i}=1
[/mm]
(1)F*G
(2)max(F,G)
(3)min(F,G)
[mm] (4)F^n
[/mm]
[mm] (5)\sqrt(F)
[/mm]
[mm] (6)\summe_{i=1}^{\infty}a_{i}F_{i}
[/mm]
(7) |2F-G|
[mm] (8)\bruch{F}{2-G}
[/mm]
[mm] (9)exp(-\bruch{1-F}{F})
[/mm]
(10) F(x-a)
(11) F(bx)
Dabei darf benutzt werden:
(1) $ [mm] f\circ [/mm] $ F und $ [mm] F\circ [/mm] $ g sind Verteilungsfunktionen, wenn f: $ [mm] [0,1]\to[0,1] [/mm] $ und g: $ [mm] \IR\to\IR [/mm] $ stetig,surjektiv und monoton steigend sind und F eine Verteilungsfkt ist.
(2) Ist $ [mm] h:[0,1]x[0,1]\to[0,1] [/mm] $ stetig,surjektiv und schwach monoton (d.h. $ [mm] x_{1}\le x_{2},y_{1}\le y_{2}\Rightarrow h(x_{1},y_{1})\le h(x_{2},y_{2}) [/mm] $ und F,G Verteilungsfkten, dann ist $ [mm] h\circ [/mm] $ (F,G) eine Verteilungsfkt |
Hallo,
also ich hab mich mal an der Aufgabe versucht,
Meine "Lösungen":
(1),(4),(5);(9);(10),(11) sind Verteilungsfkten, wobei man die Eigenschaften mithilfe des Tipps "leicht" nachrechnen (mit ZWS, Monotonie,...) kann.
Bei (3) und (7) hab ich ein Gegenbeispiel gefunden. Stimmt das wohl?
Hat jemand vielleicht Ideen, Tipps für (2),(6),(8) ?
Bin für jede Hilfe dankbar !
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Fry |
So, ich denke, dass ich auch bewiesen hab, dass max(F,G) eine Verteilungsfkt ist und ich hab ein Gegenbeispiel zu [mm] \bruch{F}{2-G} [/mm] gefunden und zwar:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 1 & x\ge 1 \end{cases}
[/mm]
[mm] G(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 0,5 & x\in[0.1] \\ 1 & x>1 \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{F}{2-G} [/mm] nicht rechtseitig stetig in 1. Stimmt das?
Nun noch die letzte Fkt = )...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Fr 08.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welche der folgenden auf [mm]\IR[/mm] definierten Funktionen sind
> stets Verteilungsfkten, wobei [mm]F,G,F_{i}[/mm] Verteilungsfkt und
> [mm]a\in\IR, b\in(0,\infty),n\in\IN, a_{i}\in(0,\infty)[/mm] mit
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{i}=1[/mm]
>
> (1)F*G
> (2)max(F,G)
> (3)min(F,G)
> [mm](4)F^n[/mm]
> [mm](5)\sqrt(F)[/mm]
> [mm](6)\summe_{i=1}^{\infty}a_{i}F_{i}[/mm]
> (7) |2F-G|
> [mm](8)\bruch{F}{2-G}[/mm]
> [mm](9)exp(-\bruch{1-F}{F})[/mm]
> (10) F(x-a)
> (11) F(bx)
>
> Dabei darf benutzt werden:
> (1) [mm]f\circ[/mm] F und [mm]F\circ[/mm] g sind Verteilungsfunktionen, wenn
> f: [mm][0,1]\to[0,1][/mm] und g: [mm]\IR\to\IR[/mm] stetig,surjektiv und
> monoton steigend sind und F eine Verteilungsfkt ist.
>
> (2) Ist [mm]h:[0,1]x[0,1]\to[0,1][/mm] stetig,surjektiv und schwach
> monoton (d.h. [mm]x_{1}\le x_{2},y_{1}\le y_{2}\Rightarrow h(x_{1},y_{1})\le h(x_{2},y_{2})[/mm]
> und F,G Verteilungsfkten, dann ist [mm]h\circ[/mm] (F,G) eine
> Verteilungsfkt
>
> Hallo,
>
> also ich hab mich mal an der Aufgabe versucht,
> Meine "Lösungen":
> (1),(4),(5);(9);(10),(11) sind Verteilungsfkten, wobei man
> die Eigenschaften mithilfe des Tipps "leicht" nachrechnen
> (mit ZWS, Monotonie,...) kann.
Nun, eigentlich muesste man bei (9) sagen, dass fuer $F(x) = 0$ man [mm] $\exp(-\frac{1 - F}{F})(x) [/mm] := 0$ definiert. Davon abgesehen stimmt das aber.
Und (2) hattest du ja mittlerweile auch.
> Bei (3) und (7) hab ich ein Gegenbeispiel gefunden. Stimmt
> das wohl?
Bei (7) sicher. Allerdings frag ich mich gerade, ob (3) nicht eigentlich genauso wie (2) richtig sein sollte. (Rechtsseitige Stetigkeit passt, Grenzwerte gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] passen, Monotonie passt...)
> Hat jemand vielleicht Ideen, Tipps für (2),(6),(8) ?
Dein Gegenbeispiel zu (8) stimmt so nicht: $G$ selber ist nicht rechtsseitig stetig in $1$, womit es keine Verteilungsfunktion ist. Ich vermute recht stark, dass (8) stimmt.
Und (6) sollte auch stimmen. Man koennte auch welche der [mm] $a_i$ [/mm] als 0 akzeptieren, solange [mm] $\sum a_i [/mm] = 1$ gilt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
danke für deine Hilfe, hast Recht, die Beispiele waren falsch,
hatte gedacht, ich könnte eine Kompostionsfunktion finden, die nicht rechtsseitig stetig ist. Dann sollten natürlich auch die Ausgangsfunktionen rechtsseitig stetig sein ; )...Die anderen Beweise habe noch hinbekommen.
VG
Christian
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