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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:49 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Grenzwert bestimmen:
[mm] \limes_{x\rightarrow0,x>0}(2\wurzel{x}+e^x)^{\bruch{1}{\wurzel{x}}} [/mm] |
Bin total verzweifelt an dieser Aufgabe, bestimmt könnt Ihr mir helfen.
Exponentbetrachtung bringt:
[mm] \bruch{ln(2\wurzel{x}+e^x)}{\wurzel{x}}
[/mm]
Nach L'Hospital: [mm] \bruch{\left(\bruch{1}{\wurzel{x}}+e^x\right)*2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}+e^x}
[/mm]
Ich hoffe bis hierhin richtig?
Nun scheine ich aber etwas zu übersehen, bzw. fehlt es mir an geistlicher Intelligenz hier etwas zu erkennen. Ich bin am Verzweifeln...
Oder, jetzt am Bildschirm gesehen:
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
[mm] \limes_{x\rightarrow0,x>0}\bruch{2+2\wurzel{x}*e^x}{2\wurzel{x}+e^x}=\bruch{2}{1}=2
[/mm]
Das wäre aber wirklich Zufall, weil ich an dieser Aufgabe schon länger sitze...
LG Lzaman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lzaman!
Das sieht soweit doch ganz gut aus. Nun im Zähler die Klammer ausmultiplizieren und anschließend die Grenzwertbetrachtung für $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$ .
Edit: Dein Endergebnis für den Exponenten ist richtig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:04 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Boah, das war eine schöne Entdeckung. hab kaum die Frage gestellt und sofort nach dem Senden die Lösung gesehen.
Lösung lautet nun: $ [mm] \limes_{x\rightarrow0,x>0}(2\wurzel{x}+e^x)^{\bruch{1}{\wurzel{x}}}=2e [/mm] $
Danke
LG Lzaman
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Hallo Izaman,
> Boah, das war eine schöne Entdeckung. hab kaum die Frage
> gestellt und sofort nach dem Senden die Lösung gesehen.
>
> Lösung lautet nun:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0,x>0}(2\wurzel{x}+e^x)^{\bruch{1}{\wurzel{x}}}=2e[/mm]
?????????
Wie kann das sein?
Es ist doch [mm] $\left(2\sqrt{x}+e^x\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\frac{\ln\left(2\sqrt{x}+e^x\right)}{\sqrt{x}}}$
[/mm]
Und den GW des Exponenten für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ hattest du richtig zu 2 berechnet.
Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion ist [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Also ergibt sich als "Gesamt"-GW doch [mm] $e^2$ [/mm] und nicht $2e$
>
> Danke
>
> LG Lzaman
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ja du hast recht, war gestern schon so spät...
LG Lzaman
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