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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 05.09.2007 | | Autor: | DommeV |
| Aufgabe | | Welche Zahlen kannst du als Summe aus einem Vielfachen von 3 und einem Vielfachen von 5 schreiben. Probiere! |
Hallo, ich musste heute einem 6 Klässler bei den Hausaufgaben helfen... Wir haben ein paar Zahlen gemacht...
z.B. 3+15=18 ; 15+15=30 9+5=14 ....
Mich würde interressiern, ob es einen Beweis gibt, dass man jede Zahl >12 benutzen kann.
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Hallo,
ließe man auch negative Vielfache zu, so ließe sich jede ganze Zahl auf diese Weise darstellen, da 3 und 5 teilerfremd sind, also ggT(3, 5) = 1.
Das bedeutet nach dem ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Bézout, dass sich die 1 auf diese Weise darstellen lässt. Und wenn man die 1 darstellen kann, kann man alle anderen Zahlen durch Multiplikation darstellen.
Hier ergibt sich bei nur positiven (oder nichtnegativen) Faktoren eine bestimmte Untergrenze.
Wie kommst du eigentlich auf deine Untergrenze?
12 = 4*3 + 0*5
11 = 2*3 + 1*5
10 = 0*3 + 2*5
9 = 3*3 + 0*5
8 = 1*3 + 1*5
Oder ist die 0 als Faktor nicht zugelassen?
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 10.09.2007 | | Autor: | DommeV |
| Aufgabe | | Welche Zahlen kannst du als Summe aus einem Vielfachen von 3 und einem Vielfachen von 5 schreiben. Probiere! |
Hallo, ich musste heute einem 6 Klässler bei den Hausaufgaben helfen... Wir haben ein paar Zahlen gemacht...
z.B. 3+15=18 ; 15+15=30 9+5=14 ....
Mich würde interressiern, ob es einen Beweis gibt, dass man jede Zahl >12 benutzen kann.
Aus der Aufgabenstellung geht nicht klar hervor, dass die 0 nicht zugelassen ist deswegen ich bin aber einfach davon ausgegangen und so kam ich auf die 12, was aber falsch ist, weil die 15 auch nicht funktionert (wenn die 0 nicht zugelassen ist).
Aber wie beweist man das denn jetzt? (interessiert mich einfach) wenn wir davon ausgehen das nur positive faktoren zugelassen sind und auch die 0 ausgeschlossen ist?
Aus der Aug
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 10.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. 1=2*3-5
2. n=2*n*3-n*5 eines der Zahlen 2n,2n-1,2n-2,2n-3,2n-4 ist durch 5 teilbar sei es 2n-k
dann gilt [mm] n=\bruch{2n-k}{5}*3*5+k*3-n*5=k*3+(\bruch{2n-k}{5}*3-n)*5
[/mm]
damit richtig für alle n mit [mm] \bruch{2n-k}{5}*3>n
[/mm]
oder n>3k mit [mm] 0\le k\le [/mm] 4
Gruss leduart
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