Vielfaches einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo liebe Leute.
Folgende Aufgabe dürfte nicht all zu schwer zu rechnen sein. Rechnet man allerdings stur a*a*a*...*a kommt man in Teufels Küche! Statt dessen sollte man wohl über die Diagonalmatrix gehen. Diese erhählt man durch die Eigenwerte. Dieser ist -1, aber jetzt bin ich mit meinem Latein auch am Ende.
Die Aufgabe Lautet:
Sei a = [mm] \pmat{ 0 & \wurzel{2} \\ \wurzel{2} & 1 }
[/mm]
Berechnen sie [mm] a^{28}.
[/mm]
Wär schön wenn mir jemand genau erklären könnte wie ich loslegen muß, rechnen krieg ich dann glaub ich alleine hin :)
LG, Olek
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Hallo!
Tatsächlich gibt es zwei Eigenwerte: $-1$ und $2$.
Zu diesen Eigenwerten berechnest du jetzt die Eigenvektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] und bildest die Matrix [mm] $S:=(v_1|v_2)$. [/mm] Diese Matrix musst du noch invertieren. Dann gilt:
[mm] $\pmat{-1&0\\0&2}=S^{-1}AS$...
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Olek |
Habe nun S und [mm] S^{-1} [/mm] errechnet. Dann habe ich [mm] S^{-1}*A*S [/mm] gerechnet und die Matrix erhalten die du auch unten stehn hast. Aber dass es eine Matrix gibt mit den EWs auf der Diagonalen wusste ich doch auch aus einem Satz der Vorlesung. War das jetzt alles, diese Matrix hoch 28? Also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 268435456 } [/mm] ?
Vielen Dank für deine Antwort,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Es gilt ja jetzt:
[mm] $A^{28} [/mm] = [mm] \left( S \pmat{-1 & 0 \\ 0 & 2} S^{-1} \right)^{28}$
[/mm]
$= S [mm] \pmat{-1 & 0 \\ 0 & 2}^{28} S^{-1}$
[/mm]
$= S [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 2^{28}} S^{-1}$.
[/mm]
Du musst deine Matrix jetzt also noch von rechts mit [mm] $S^{-1}$ [/mm] und von links mit $S$ multiplizieren.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Olek |
Das zweite Gleichheitszeichen kann ich noch nicht nachvollziehen. Wieso ist [mm] (S^{-1}*A^{~}*S)^{28}=S^{-1}*(A^{~})^{28}*S?
[/mm]
Ansonsten ist alles klar, dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olke!
Wenn du 28mal hintereinander [mm] $SAS^{-1}$ [/mm] hinschreibst, wirst du feststellen, dass sich 27mal [mm] $S^{-1}S$ [/mm] "wegkürzt".
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Olek |
Schön wenn sich manche Dinge so leicht erklären lassen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Olek |
Da ist mir jetzt doch noch was unklar:
banachella schrieb: $ [mm] \pmat{-1&0\\0&2}=S^{-1}AS [/mm] $
und du schreibst: $ [mm] A^{28} [/mm] = [mm] \left( S^{-1} \pmat{-1 & 0 \\ 0 & 2} S \right)^{28} [/mm] $
Kann man das A einfach so tauschen mit der Matrix? müsste man dann nicht das [mm] S^{-1} [/mm] nach rechts schreiben?
Erklär mir das bitte nochmal, ich möcht nichts aufschreiben was ich nicht begriffen habe :)
Danke,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Ja, stimmt, man müsste dann $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] vertauschen. Ich verbessere es gerade, vielen Dank für den Hinweis. 
Viele Grüße
Julius
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