Vielfachheit m bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] f(z)=z^{3}+z^{2}. [/mm] Bestimmen Sie für jedes [mm] z_{0} \in \IC [/mm] die Vielfachheit m des Wertes [mm] f(z_{0}) [/mm] in [mm] z_{0}. [/mm] (D.h. finden Sie ein m, sodass lokal [mm] f(z)=f(z_{0})+(\varphi(z))^{m} [/mm] gilt, wobei [mm] \varphi(0)=z_{0} [/mm] und [mm] \varphi [/mm] biholomorph in 0 ist.) |
Hallo zusammen,
ich bräuchte bei der obigen Aufgabe eure Hilfe, da ich mir nicht ganz sicher bin, wie ich vorgehen muss.
Also ich weiß, dass die Vielfachheit m=1 ist, wenn f biholomorph ist. f ist biholomorph, wenn [mm] f'(z_{0})\not=0 [/mm] ist.
[mm] f'(z)=3z^{2}+2z
[/mm]
Für [mm] z_{0}=0 [/mm] und Für [mm] z_{1}=\bruch{-2}{3} [/mm] ist f'(z)=0, d.h. für alle z außer [mm] \bruch{-2}{3} [/mm] und 0 ist die Vielfachheit m=1
Im Falle [mm] z_{0}=0 [/mm] ist die Funktion sogar konstant, d.h. dort beträgt die Vielfachheit 0.
Ist das soweit richtig? Wie bestimme ich nun die Vielfachheit im Fall [mm] z_{1}=\bruch{-2}{3}?
[/mm]
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] z_0 \in \IC.
[/mm]
Setze
[mm] $h(z)=f(z)-f(z_0)$
[/mm]
Dann hat h in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle.
Die Vielfachheit m des Wertes $ [mm] f(z_{0}) [/mm] $ ist gerade die Vielfachheit der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von h !!
FRED
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