Vielfachheit von Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 18.05.2009 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | | Wie finde ich die Vielfachheit von Nullstellen heraus? |
Hallo Leute!
Bei vielen Sätzen (etwa Residuum) kommt es ja auf die Häufigkeit m der Nullstellen/Polstellen an.
Jetzt hat nach dem Fundamentalsatz jedes Polynom vom Grad n genau n Nullstellen wenn man die Vielfachheit berücksichtigt.
Aber wie erkenne ich die Vielfachheit einer Nullstelle?
Bei Polynomen kann ich ja eine Partialbruchzerlegung machen und alle Nullstellen abspalten wenn ich den Ausdruck faktorisieren kann. Aber manche Funktionen haben ja auch periodische Nullstellen (etwa sin, cos..) - wie geh ich da vor?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $G [mm] \subseteq \IC$ [/mm] ein Gebiet und $f:G [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph. Für [mm] $z_0 \in [/mm] G$ und $m [mm] \in \IN$ [/mm] sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. f hat in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle der Ordnung m.
2. Es gibt eine auf G holomorphe Funktion g mit:
$f(z) = [mm] (z-z_0)^mg(z)$ [/mm] für $z [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $g(z_0) \not= [/mm] 0$
3. [mm] $f(z_0) [/mm] = [mm] f'(z_0) [/mm] = ... = [mm] f^{m-1}(z_0) [/mm] = 0$ und $ [mm] f^{m}(z_0) \not= [/mm] 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Di 19.05.2009 | | Autor: | chrisi99 |
Hallo Fred!
Danke für deine Hilfe!
Aber wie ehe ich jetzt im Falle von f(z)=cos(k*z) k eine ganze Zahl vor?
den kann ich beliebig oft differenzieren, oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> Danke für deine Hilfe!
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> Aber wie ehe ich jetzt im Falle von f(z)=cos(k*z) k eine
> ganze Zahl vor?
Tipp: der komplexe Cosinus hat nur reelle Nullstellen
Z.B.: im Falle k [mm] \not= [/mm] 0 ist [mm] z_0 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2k} [/mm] eine einfache Nullstelle deiner obigen Fkt. f
>
> den kann ich beliebig oft differenzieren, oder?
Ja, f ist auf [mm] \IC [/mm] holomorph
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 19.05.2009 | | Autor: | chrisi99 |
Guten Morgen Fred! Danke für deine sehr schnelle Reaktion!
Ich sitze hier nämlich vor ein paar Beispielen bei denen der Integralsatz von Cauchy anzuwenden ist. Damit der funktioniert "schneide" ich ja die Polstellen der Funktion "aus", und Setze das geschlossene Kurvenintegral gleich den einzelnen geschlossenen Kurvenintegralen.
wenn meine Funktion [mm]f(z)=\frac{1}{cos(kz)}[/mm] ist ... wie schneide ich dann die Nullstellen aus? Meines wissens können die Nullstellen sich ja nicht häufen ..?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Fred! Danke für deine sehr schnelle Reaktion!
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> Ich sitze hier nämlich vor ein paar Beispielen bei denen
> der Integralsatz von Cauchy anzuwenden ist. Damit der
> funktioniert "schneide" ich ja die Polstellen der Funktion
> "aus", und Setze das geschlossene Kurvenintegral gleich den
> einzelnen geschlossenen Kurvenintegralen.
Zeig doch mal die Aufgabe und Deine Ideen
>
> wenn meine Funktion [mm]f(z)=\frac{1}{cos(kz)}[/mm] ist ... wie
> schneide ich dann die Nullstellen aus? Meines wissens
> können die Nullstellen sich ja nicht häufen ..?
es sei denn die Funktion ist konstant = 0
FRED
>
> LG
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