Vier-Farben-Satz < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Ballo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Präsentation Vier-Farben-Satz
Hi,
Ich soll in der nächsten Zeit eine GFS in Mathematik über das Vier-Farben-Problem/Satz vorstellen.
Ich habe mich bereits ausgiebig darüber informiert und auseinander gesetzt, allerdings scheint mir das Thema nicht besonders zu liegen.
Zu meinen Problemen:
Mir ist klar, dass ich bei dem mathematischen Satz die Induktion benötige. Nur verstehe ich absolut nicht was k und n aussagt, geschweige denn was sie bedeuten.
Für mich war k immer die Anzahl der "getroffenen" Versuche und n die Gesamtanzahl der Versuche ( z.B. beim Hypothesentest )..
Kurz:
Das Peano-Axiom ( Induktionsaxiom )besagt:
„Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“
?? ...
Zudem habe ich herausgefunden, dass ich für den Induktionsbeweis die Gaußsche Summenformel benötige.
also :
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm]
Nur stecke ich schon bei den Grundlagen fest, also wie man auf die Parameter der Induktion, geschweige denn, weshalb man überhaupt die Induktion verwendet.
Ich bin nicht so der Matheprofi, habe aber eigentlich auch keine größeren Schwierigkeiten damit.
Falls noch Fragen offen sind oder die Oben genannten Infos nicht weiter Helfen, schießt einfach los.
Vielen Dank im Voraus !
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ballo und Willkommen 
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Präsentation Vier-Farben-Satz
>
> Hi,
> Ich soll in der nächsten Zeit eine GFS in Mathematik über
> das Vier-Farben-Problem/Satz vorstellen.
> Ich habe mich bereits ausgiebig darüber informiert und
> auseinander gesetzt, allerdings scheint mir das Thema nicht
> besonders zu liegen.
>
> Zu meinen Problemen:
>
> Mir ist klar, dass ich bei dem mathematischen Satz die
> Induktion benötige. Nur verstehe ich absolut nicht was k
> und n aussagt, geschweige denn was sie bedeuten.
> Für mich war k immer die Anzahl der "getroffenen"
> Versuche und n die Gesamtanzahl der Versuche ( z.B. beim
> Hypothesentest )..
>
> Kurz:
>
> Das Peano-Axiom ( Induktionsaxiom )besagt:
> „Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass
> 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch
> k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“
>
> ?? ...
Ja, das stimmt!
Leider kann ich aus deinem Profil nicht erkennen was du studierst,
so dass ich es probiere so einfach wie möglich zu formulieren.
Falls du etwas genauer wissen willst kannst du gerne nochmal nachfragen.
Eine Möglichkeit die Analysis einzuleiten bieten die Peano Axime.
Die natürliche Zahlen werden dazu axiomatisch eingeführt.
Es gilt:
[mm] \IN:=\{1,2\ldots\} [/mm] bzw. [mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\}
[/mm]
Betrachten wir die Peano-Axiome für [mm] \IN_0:
[/mm]
Es ist eine Menge mit einem Element $0$ und einer Abilldung (Funktion).
Diese Funktion nennt man auch die Nachfolgerfunktion und sie ist wie folgt definiert:
[mm] f\colon\IN_0\to\IN
[/mm]
Kommen wir zu den Peano-Axiomen:
[mm] \alpha) 0\notin f(\IN_0)
[/mm]
Das heißt: Kein Element von $0$ hat $0$ als Nachfolger.
[mm] \beta) x\not=y\Rightarrow f(x)\not=f(y)
[/mm]
Das heißt: Verschiedene Elemente von [mm] \IN_0 [/mm] haben verschiedene Nachfolger.
Kannst dir mal für [mm] \alpha) [/mm] und [mm] \beta) [/mm] zwei Beispiele überlegen.
[mm] \gamma) [/mm] Das Induktionsaxiom
Sei $K$ eine Menge derart, dass $K$ eine Teilmenge von [mm] \IN_0 [/mm] ist (kurz: [mm] K\subset\IN_0) [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] $\alpha')0\in [/mm] K$
[mm] $\beta')x\in K\Rightarrow f(x)\in [/mm] K$
Dann folgt aus [mm] \alpha') [/mm] und [mm] \beta'):
[/mm]
[mm] K=\IN_0
[/mm]
Visualisierung:
* stellt die $0$ dar.
* stellt den Nachfolger von $0$ dar, also $1:=f(0)$.
* stellt den Nachfolger, von dem Nachfolger von $0$ dar, also $2:=f(f(0))$.
[mm] \ldots
[/mm]
Also erhalten wir die natürlichen Zahlen auf diese Weise.
Demnach ist die Zahl $5% nichts anderes als fünfte Nachfolger der Zahl $0$.
Dieses Induktionsprinzip benutzt man um Aussagen zu beweisen.
Aussagen, die in der Regel über alle natürliche Zahlen getroffen werden.
Du kannst zum Beispiel durch vollständige Induktion über $n$ folgendes zeigen:
$0+n=n$ für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
Kannst du mal probieren 
Man kann damit aber auch zum Beispiel das Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition beweisen.
>
> Zudem habe ich herausgefunden, dass ich für den
> Induktionsbeweis die Gaußsche Summenformel benötige.
> also :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
Du meinst sicher folgendes:
Es gilt für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}
[/mm]
>
> Nur stecke ich schon bei den Grundlagen fest, also wie man
> auf die Parameter der Induktion, geschweige denn, weshalb
> man überhaupt die Induktion verwendet.
>
> Ich bin nicht so der Matheprofi, habe aber eigentlich auch
> keine größeren Schwierigkeiten damit.
>
> Falls noch Fragen offen sind oder die Oben genannten Infos
> nicht weiter Helfen, schießt einfach los.
[mm] \summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
Dein $n$ ist fest und dein $i$ ist dein Laufindex. Dieser geht, in diesem Fall, von $i=1$ bis $n$.
Beispiel:
$n:=5$
[mm] \summe_{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5
[/mm]
Deshalb schreibt man auch folgendes:
[mm] 1+2+\ldots=\summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
Anderes Beispiel:
[mm] \summe_{i=1}^{5}2*i=2*1+2*2+2*3+2*4+2*5
[/mm]
Jedenfalls kann man mit vollständiger Induktion beweisen, dass folgendes gilt:
Es gilt für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}
[/mm]
Das kannst du auch mit Zahlen ausprobieren.
Sei $n:=5$, dann gilt:
$1+2+3+4+5=15$
Jetzt mit unserer Summenformel:
[mm] 1+2+3+4+5=\summe_{i=1}^{5}i=\frac{5(5+1)}{2}=\frac{30}{2}=15
[/mm]
Den Laufindex $i$ kannst du ändern.
Es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i=\summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
Etwas allgemeiner gilt für eine reelle Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR [/mm] folgendes:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+\ldots+a_n
[/mm]
Das geht natürlich noch allgemeiner, aber wir belassen es dabei.
>
> Vielen Dank im Voraus !
>
> MfG
>
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Leider hast du nicht geschrieben was du genau brauchst und es ist, zumindest für mich, etwas verwirrend.
Gruß
DieAcht
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Hallo Ballo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
da hast Du irgendetwas gründlich missverstanden.
> Präsentation Vier-Farben-Satz
>
> Hi,
> Ich soll in der nächsten Zeit eine GFS in Mathematik über
> das Vier-Farben-Problem/Satz vorstellen.
> Ich habe mich bereits ausgiebig darüber informiert und
> auseinander gesetzt, allerdings scheint mir das Thema nicht
> besonders zu liegen.
>
> Zu meinen Problemen:
>
> Mir ist klar, dass ich bei dem mathematischen Satz die
> Induktion benötige.
Absolut nicht. Es hat wissenschaftsgeschichtlich gesehen seeehr lange gedauert, bis die Behauptung bewiesen werden konnte.
Als gelungener Beweis galt erst der von Kenneth Appel und Wolfgang Haken 1976. Allerdings blieb er noch viele Jahre umstritten, weil es der erste mathematische Beweis war, der nur mit Hilfe eines Computerprogramms geführt werden konnte. Zu groß war die Zahl der zu untersuchende Fälle (Teilkarten).
Darum wird es in Deiner GFS gehen müssen. Das eigentliche Theorem ist ansonsten nicht besonders nützlich. Auf anderen Oberflächen gelten übrigens Farbzahlen (z.B. beim Torus).
> Nur verstehe ich absolut nicht was k
> und n aussagt, geschweige denn was sie bedeuten.
> Für mich war k immer die Anzahl der "getroffenen"
> Versuche und n die Gesamtanzahl der Versuche ( z.B. beim
> Hypothesentest )..
Wie Variablen heißen, ist doch wurscht, Hauptsache sie sind unterscheidbar. Du kannst sie auch [mm] \text{purz} [/mm] und [mm] \text{fimbl} [/mm] nennen, wenn Du willst. Oder vielleicht [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] z_{\phi}.
[/mm]
Aber wie gesagt: Induktion hilft bei diesem Beweis absolut nichts.
Wenn Du wenigstens den ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel gelesen hättest, wüsstest Du das.
Grüße
reverend
> Kurz:
>
> Das Peano-Axiom ( Induktionsaxiom )besagt:
> „Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass
> 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch
> k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“
>
> ?? ...
>
> Zudem habe ich herausgefunden, dass ich für den
> Induktionsbeweis die Gaußsche Summenformel benötige.
> also :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
>
> Nur stecke ich schon bei den Grundlagen fest, also wie man
> auf die Parameter der Induktion, geschweige denn, weshalb
> man überhaupt die Induktion verwendet.
>
> Ich bin nicht so der Matheprofi, habe aber eigentlich auch
> keine größeren Schwierigkeiten damit.
>
> Falls noch Fragen offen sind oder die Oben genannten Infos
> nicht weiter Helfen, schießt einfach los.
>
> Vielen Dank im Voraus !
>
> MfG
>
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