Vitali-Mengen nicht L-messbar < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 So 05.11.2023 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Wir betrachten folgende Äquivalenzrelation auf [mm] \mathbb{R}:
[/mm]
x [mm] \sim [/mm] y, x, y [mm] \in \mathbb{R} \quad: \Leftrightarrow \quad [/mm] x-y [mm] \in \mathbb{Q}
[/mm]
und bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit [mm] \mathbb{R} [/mm] / [mm] \mathrm{Q}. [/mm] Dann ist jede reelle Zahl zu einer Zahl im Intervall [0,1] äquivalent. Wir wählen zu jeder Äquivalenzklasse [x] [mm] \in \mathbb{R} [/mm] / [mm] \mathbb{Q} [/mm] einen Repräsentanten v[x] [mm] \in[0,1] [/mm] und setzen
[mm] V:=\{v[x]:[x] \in \mathbb{R} / \mathbb{Q}\} [/mm] .
Man nennt V eine Vitali-Menge. Nach Konstruktion hat V die Eigenschaft, dass es zu jedem x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] genau ein v [mm] \in [/mm] V gibt mit x [mm] \sim [/mm] v.
Zeigen Sie, dass die Vitali-Menge V nicht [mm] \mathcal{L}^{1}-messbar [/mm] ist. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Es sei [mm] q_{1}, q_{2}, \ldots [/mm] eine Abzählung von [-1,1] [mm] \cap \mathbb{Q} [/mm] und
[mm] V_{k}:=\left\{v+q_{k}: v \in V\right\}, \quad [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] .
a) Zeigen Sie, dass [mm] V_{k} \cap V_{\ell}=\emptyset [/mm] für k [mm] \neq \ell.
[/mm]
b) Zeigen Sie
[0,1] [mm] \subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2]
[/mm]
c) Nehmen Sie nun an, dass V [mm] \mathcal{L}^{1}-messbar [/mm] ist und leiten Sie daraus einen Widerspruch her. |
Teilaufgabe a) habe ich mittels Repräsentanten und Teilaufgabe c) mittles (simga-Additivität + Monotonie des Maßes = Abschätzung --> Translationsinvarianz --> Wiedersprich) gezeigt!
Bei Teilaufgabe b) komme ich einfach nicht weiter - Wie kann ich [0,1] [mm] \subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2] [/mm] zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Mo 06.11.2023 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bei Teilaufgabe b) komme ich einfach nicht weiter - Wie
> kann ich [0,1] [mm]\subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2][/mm]
> zeigen?
Jede Zahl in [0, 1] hat einen Repräsentanten in [0, 1], von dem sie sich um eine rationale Zahl [mm] q_{k} [/mm] unterscheidet, weswegen sie in [mm] V_{k} [/mm] liegt, also auch in der Vereinigung.
Jede Zahl in der Vereinigung liegt in einem [mm] V_{k}, [/mm] ist also Summe aus einer Zahl aus [0, 1] und einer Zahl aus [-1, 1], liegt also in [-1, 2].
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mo 06.11.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Ich danke dir vielmals für deine rasche Antwort und die Erklärende Ausführung (ist im Nachhinein, wie so oft, eigentlich doch ganz einfach und simpel :)).
LG Euler
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