Voll. Induktion - Fakultät < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:08 Do 01.12.2011 | | Autor: | flo_87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:
3 * 3! + 4 * 4! + ... + n * n! = (n + 1)!-6 |
Hey, guten Morgen.
Ich komme bei dieser Aufgabe am Ende nicht weiter. Ich hoffe es kann mir jemand helfen?
Habe die vollständige Induktion mal soweit durchgeführt, wie ich konnte:
Im Induktionsschluss muss ich ja zeigen, dass die Gleichung mit n+1 funktioniert:
3 * 3! + 4 * 4! + ... + n * n! + (n+1) * (n+1)! = (n + 2)!-6
(n+1)! - 6 + (n+1) * (n+1)! = (n+2)! - 6 | +6
(n+1)! + (n+1) * (n+1)! = (n+2)!
Und nun weiß ich nicht, wie ich die linke Seite weiter vereinfachen soll, sodass ich beweisen kann, dass beide Seiten gleich sind.
Die Fakultät bereitet mir da ein bisschen Probleme.
Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?
Schonmal vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gruss Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Do 01.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin flo_87,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zu zeigen ist also [mm] $\sum_{i=3}^ni [/mm] i!=(n+1)!-6$. Die Behauptung ist offenbar richtig fur $n=3$ (das musst du ueberpruefen!). Sie gelte fuer $n_$.
Es ist nach IV
[mm] $\sum_{i=3}^{n+1}i i!=\sum_{i=3}^{n}i [/mm] i!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-6+(n+1)(n+1)!=(n+1)!(n+2)-6=(n+2)!-6$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Do 01.12.2011 | | Autor: | flo_87 |
Hey, vielen dank für deine schnelle Antwort !!!
(n+1)! - 6 + (n+1) (n+1)! = -6 + (n+2) (n+1)!
Dieser Schritt war mir die ganze Zeit unklar. Hab jetzt die Fakultät einfach mal mit einem beliebigen n ausgeschrieben. Also zb mit n=2:
- 6 (3*2*1) + 3 (3*2*1)
und dann ist mir erst klar geworden wie du auf (n+2) kommst. Die Fakultät (n+1)! kommt ja zweimal vor und kann einmal gestrich werden, wenn man sie einfach einmal mehr multipliziert. Deswegen (n+2).
Die Fakultät hat mich bei der Aufgabe ein bisschen durcheinander gebracht. Jetzt hab ich es aber verstanden.
dankeschön!!!
gruss flo...
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