Vollst.Induktion für Ableitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 15.01.2008 | | Autor: | mai |
Hallo Ihr Lieben,
ich hab ein Problem bei einem Induktionsbeweis,
undzwar:
Für f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}) [/mm] gilt:
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n*n!}{2}*(\bruch{1}{(x-1)^{n+1}}-\bruch{1}{(x+1)^{n+1}})
[/mm]
Nach Ind.Anfang (für n=1 gilt das wirklich), Ind.Annahme
und Ind.Behauptung, weiß ich jetzt nicht, wie ich
beim Beweis vorgehen soll (n-te Ableitung bzw. n+1-te Ableitung??? wie bestimmt man sowas?)! :-(
Vielen Dank für Eure Hilfe!! LG
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Hallo mai!
Leite im Induktionsschritt den Term für [mm] $f^{(n)}(x)$ [/mm] und Du erhältst damit automatisch [mm] $f^{(n+1)}(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 15.01.2008 | | Autor: | mai |
Hallo, wie leitet man denn [mm] f^{(n)}(x) [/mm] ab?
Der Erste Term ist eine Konstante, die
bleibt also bestehen und dann? :-(
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Hallo mai!
Du kannst hier ganz "normal" die  Potenzregel verwenden, wenn Du vorher noch umformst zu:
[mm] $$f^{(n)}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^n*n!}{2}*\left[\bruch{1}{(x-1)^{n+1}}-\bruch{1}{(x+1)^{n+1}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^n*n!}{2}*\left[(x-1)^{-(n+1)}-(x+1)^{-(n+1)}\right]$$ [/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 15.01.2008 | | Autor: | mai |
Es klappt!! Dankeschön!!!
Weiterhin steht in der Aufgabe:
Wie lautet die Taylorreihe von f um den Entwicklunspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 0?? -> Um welchen Grad handelt es sich dann?
Kann mir da jemand helfen? (Ich kenne nur "Bilde das Taylorpolynom x. Grades von...)
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Hallo mai!
Berechne doch mal die allgemeine Werte [mm] $f^{(n)}(\red{0})$ [/mm] und setze anschließend in die Formel der Taylor-Reihe ein mit:
[mm] $$T_{\red{0}}(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(\red{0})}{n!}*(x-\red{0})^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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