Vollst. Ind. - Teilbarkeit < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Esche |
| Aufgabe | Beweisen Sie für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
7| [mm] [2^{(2^n)}]^3 [/mm] - 1. |
Bisher habe ich hier stehen:
Induktionsanfang: Für n = 0 gilt: 7|-1, also wahr.
Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges, aber festes n gelte:
7| [mm] [2^{(2^n)}]^3 [/mm] - 1
Induktionsbehauptung: Dann gilt auch:
7| [mm] [2^{(2^n+1)}]^3 [/mm] - 1
____________________________
Soweit so gut, aber ich habe leider überhaupt keine Idee, wo ich mit dem Induktionsschluss hin möchte?! Also, ja eigentlich zur Induktionsvoraussetzung, aber wie gehe ich vor? Mich verwirren diese ganzen Potenzen total und ich weiß nicht, wie ich diese korrekt auseinanderziehen kann...
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. für n=0 kommt nicht -1 raus und
2. würde 7 auch -1 nicht (ohne Rest) teilen.
2. du musst die Ind. beh. erstmal so umformen, dass die Indvors vorkommt.
dann in summanden zerlegen, dass alle durch 7 Teilbar sind.
ich hoffe dein $ [mm] [2^{(2^n+1)}]^3 [/mm] $ - 1
ist nur ein Tipfehler , richtig ist $ [mm] [2^{(2^{n+1}}]^3 [/mm] $ - 1
dann [mm] 2^{n+1}=2*2^n 2^{2*2^n}=2^{2^n}*2^{2^n} [/mm] usw
wenn du erst mal von [mm] (2^1)^3.1 [/mm] auf [mm] (2^2)^3-1 [/mm] schliessen kannst ohne einfach auszurechnen, hast du die Beweisidee!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Esche |
Puh, erstmal danke! Klar, das mit dem Ind.anfang ist mir jetzt auch aufgefallen. Da kommt 7|7 raus und das ist natürlich wahr...
Dann habe ich die Induktionsbehauptung jetzt erstmal wie folgt umgeformt:
[mm] [2^{2^n}]^3* (2^2)^3 [/mm] - 1
(Ja das war nur ein Tippfehler.)
Und jetzt muss ich das, wie von dir angefangen in Summanden zerlegen?! Und das verstehe ich nicht so ganz. Ist das so gemeint?
[mm] 2^{2^n}*2^{2^n}*2^{2^n}*2^2*2^2*2^2 [/mm] - 1
Und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mach wirklich wie vorgeschlagen den Schritt von [mm] 2^3-1 [/mm] zu [mm] (2^2)^3-1
[/mm]
[mm] 2^3*2^3-1=(2^3+2^3+2^3....)-1=(2^3-1)+7*2^3
[/mm]
beide Summanden durch 7 Teilbar. ich musste die 64-1=63 dazu nicht ausrechnen.
jetzt du!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Esche |
Ahh, jetzt hab ich die Umformung verstanden. Du hast quasi nur den letzten Teil gemeint, einmal der Indvor. und einmal der Indbehaupt., oder?
Dann habe ich jetzt im Induktionschluss stehen:
[mm] [2^{2n}]^3*2^3*2^3 [/mm] - 1
=(...)
= [mm] [2^{2n}]^3*2^3 [/mm] - 1 + [mm] (7*2^3)
[/mm]
Und dann hätte ich ja die Ind.voraussetzung vorne stehen, die ja 7 teilt und müsste nur noch zeigen, dass [mm] 7|7*2^3 [/mm] gilt oder?
Ne, das ist ja Quatsch... Hm, kann ich vielleicht -1 +1 hinzufügen? Tut mir Leid, ich hab wirklich keine Ahnung wie ich weiter machen kann?! :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 30.11.2011 | | Autor: | moody |
> Und dann hätte ich ja die Ind.voraussetzung vorne stehen,
> die ja 7 teilt und müsste nur noch zeigen, dass [mm]7|7*2^3[/mm]
> gilt oder?
Das musst nicht mehr gezeigt werden, du hast da ja schon stehen, $7*...$ und das ist ja auf jeden Fall durch 7 teilbar.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Esche |
Also war das so schon richtig? Und hätte ich es damit dann gezeigt?
Vielen, vielen herzlichen Dank. Eigentlich dachte ich die vollst. Ind. verstanden zu haben, aber wenn dann so ein Wulst mit Potenzen kommt, versage ich direkt wieder.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mi 30.11.2011 | | Autor: | moody |
> Also war das so schon richtig? Und hätte ich es damit dann
> gezeigt?
Ja es ist ja so wie es da steht schon richtig. Du kannst natürlich wenn du möchtest noch einige Schönheitsumformungen machen. So machen wir das immer, um uns eventuell einen kleinen Text, in dem man das nochmal erwähnmt warum man an der Stelle fertig ist zu sparen. Ich kenne ja euren Prof nicht und was die Erwartung ist um volle Pktzahl zu erhalten.
$ [mm] [2^{2n}]^3\cdot{}2^3 [/mm] - 1 + [mm] (7\cdot{}2^3) [/mm] $
Ersteres ist ja deine Induktionsvorraussetzung.
Dann kannst du jetzt sagen:
[mm] \bruch{[2^{2n}]^3\cdot{}2^3 - 1 }{7} [/mm] = k
Also ist
[mm] $[2^{2n}]^3\cdot{}2^3 [/mm] - 1 = 7k$
Dann kannst du das hinschreiben:
$7k + [mm] (7\cdot{}2^3) [/mm] $
[mm] $7(k+2x^3)$
[/mm]
Sieht ziemlich eindeutig aus, dass das durch 7 teilbar ist.
lg moody
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