Vollst. Induktion oder nicht? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mi 14.11.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Hi. Ich bin ich es wieder. Ich hoffe ich gehe euch nicht auf die Nerven. Ich möchte zeigen, dass für die Folge
[mm] $(f_n)_{n\in \IN}=\sin{x},\; \sin{\bruch{x}{2}},\; \sin{\bruch{x}{4}},\, \dots,\; \sin{\bruch{x}{2^n}},\, \dots$
[/mm]
gilt [mm] $\bruch{f_i}{f_{i+1}}$ [/mm] ist analytisch [mm] $\forall \, [/mm] i$ |
Muss ich jetzt einfach 2 allgemeine, aufeinander folgende Elemente [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] nehmen und schauen, ob eben dann
[mm] $\bruch{\sin{\bruch{x}{2^n}}}{\sin{\bruch{x}{2^{n+1}}}}$ [/mm] analytisch ist? Oder muss ich da noch mit vollständiger Induktion ran? Denn wenn ich zeige, dass [mm] $\bruch{\sin{\bruch{x}{2^n}}}{\sin{\bruch{x}{2^{n+1}}}}$ [/mm] für ein beliebiges [mm] $n\in \IN$ [/mm] analytisch ist, gilt es dann auch wirklich für alle [mm] $n\in \IN$?
[/mm]
Ich hoffe ihr versteht meine Frage...
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> Hi. Ich bin ich es wieder. Ich hoffe ich gehe euch nicht
> auf die Nerven. Ich möchte zeigen, dass für die Folge
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> [mm](f_n)_{n\in \IN}=\sin{x},\; \sin{\bruch{x}{2}},\; \sin{\bruch{x}{4}},\, \dots,\; \sin{\bruch{x}{2^n}},\, \dots[/mm]
>
> gilt [mm]\bruch{f_i}{f_{i+1}}[/mm] ist analytisch [mm]\forall \, i[/mm]
> Muss
> ich jetzt einfach 2 allgemeine, aufeinander folgende
> Elemente [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] nehmen und schauen, ob eben dann
>
> [mm]\bruch{\sin{\bruch{x}{2^n}}}{\sin{\bruch{x}{2^{n+1}}}}[/mm]
> analytisch ist? Oder muss ich da noch mit vollständiger
> Induktion ran? Denn wenn ich zeige, dass
> [mm]\bruch{\sin{\bruch{x}{2^n}}}{\sin{\bruch{x}{2^{n+1}}}}[/mm] für
> ein beliebiges [mm]n\in \IN[/mm] analytisch ist, gilt es dann auch
> wirklich für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
Hallo saendra,
wenn man es direkt für ein beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] zeigen kann,
dann erübrigt sich natürlich ein Induktionsbeweis !
Ich frage mich nur, wie du denn mit den Stellen umgehen
willst, wo der Nenner verschwindet ?
Sollte da nicht wenigstens noch ein Definitionsbereich
(und Analytizitätsbereich) angegeben werden - oder
alternativ dazu: eine Ergänzung der Definition der
Funktionen ?
LG, Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 14.11.2012 | | Autor: | saendra |
Das ist gut, ich war nämlich gerade etwas verwirrt. Der Definitionsbereich ist jeweils ganz [mm] \IR.
[/mm]
Was meinst du mit den Stellen, an denen der Nenner verschwindet? Bei meinem Ergebnis: ![[]](/images/popup.gif) Bruch scheint zumindest etwas vernünftiges herauszukommen. Das Porblem wird nur noch sein, wie man analytisch im Sinne der Definition bei Wiki zeigt.
Kannst du nochmal erläutern, was du meinst?
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> Das ist gut, ich war nämlich gerade etwas verwirrt. Der
> Definitionsbereich ist jeweils ganz [mm]\IR.[/mm]
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> Was meinst du mit den Stellen, an denen der Nenner
> verschwindet? Bei meinem Ergebnis:
> Bruch
> scheint zumindest etwas vernünftiges herauszukommen. Das
> Porblem wird nur noch sein, wie man analytisch im Sinne der
> Definition bei Wiki zeigt.
>
> Kannst du nochmal erläutern, was du meinst?
Hallo saendra,
nehmen wir als Beispiel einmal [mm] \frac{sin(x/8)}{sin(x/16)} [/mm] .
Die Nennerfunktion hat unendlich viele reelle Nullstellen
(an welchen allerdings auch die Zählerfunktion verschwindet)
Da die Division durch Null und auch die Division 0/0 nicht
definiert sind, hat also die entstehende Funktion unendlich
viele Stellen, an welchen sie nicht definiert ist.
Man kann nun aber die Funktion durch zusätzliche Festlegung
von Funktionswerten in diesen Definitionslücken so ergänzen,
dass man eine stetige (und beliebig oft differenzierbare)
Funktion erhält.
Das Stichwort dazu: Doppelwinkelformeln
Was übrigens WolframAlpha mit dem Term zunächst macht
(mittels "csc" bzw. Cosecans) ist keine Vereinfachung, sondern
nur eine andere Schreibweise. Weiter unten wird dann der
Term für reelle x durch Kürzen zu einem Cosinus-Term vereinfacht.
Noch etwas weiter unten stehen dann aber auch noch die
Einschränkungen für den Definitionsbereich (Domain).
Erweitere also den Definitionsbereich auf ganz [mm] \IR [/mm] durch
Festsetzung des Wertes, der jeweils die Lücken füllen soll !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 14.11.2012 | | Autor: | saendra |
Vielen leiben Dank Al-Chwarizmi,
hmm aber es hakt bei mir... für die Nullestellenbestimmung des Nenners und des Zählers brauche ich die Periode der jeweiligen Funktionen... nur wie bestimme ich diese? [mm] $\sin{\left(\bruch{x}{2^n}+P}\right)=\sin{\bruch{x}{2^n}}$ [/mm] klappt nicht (oder ich bin zu doof dafür).
[mm] $\sin{\bruch{x}{2^n}}=0\Rightarrow$ [/mm] Wenn ich mit Arkussinus verkette bekomme ich nur die 0 als Nullstelle.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gilt sin(z) =0 [mm] \gdw [/mm] es.ex. k [mm] \in \IZ [/mm] mit $z=k* [mm] \pi$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 14.11.2012 | | Autor: | saendra |
Ja! Vielen Dank Fred!
Also für [mm] $x=2^{n+2}k\pi ,\quad k\in \IZ [/mm] $ ist der Nenner null. Und wenn ich die Lücken "geeignet" füllen will, muss den Funktionswert dort 2 setzen, das habe ich jetzt berechnet (und habe mich dabei hoffentlich nicht verrechnet  ).
Damit ist meine Lücken gefüllte Funktion gleich dieser: [mm] 2\cos{\left(\bruch{x}{2^{n+1}}\right)} [/mm]
Und ich meine es gibt doch diesen Satz aus Analysis, dass die Verkettung analytischer Funktionen wieder analytisch ist, demnach ist [mm] 2\cos{\left(\bruch{x}{2^{n+1}}\right)} [/mm] analytisch und ich habe gezeigt was ich will.
Seid ihr damit einverstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst an den kritischen Punkten die gesamte funktion, nicht einfach den Nenner durch den GW der fkt am der Stelle ersetzen, dann hast du als Gesamtfkt die mit dem cos im Nenner, wenn du unten durch die doppelwinkelformel ersetzt. das darfst du aner nicht einfach, weil du ja sonst durch 0 gekürzt hättest. also erst [mm] f(x^{2n+2})=0.5 [/mm] deefinieren
Gruss leduart
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> ... wenn ich die Lücken "geeignet" füllen will,
> muss den Funktionswert dort 2 setzen, das habe ich jetzt
> berechnet (und habe mich dabei hoffentlich nicht verrechnet
> ).
Vorsicht: die einzusetzenden Werte sind abwechslungsweise +2
und -2 !
Definiere die ergänzte Funktion also z.B. so:
$\ [mm] q_k(x):=\ \begin{cases} 2*cos\left(\frac{x}{2^{k+1}}\right)\ \ , &\quad falls\qquad \frac{x}{2^{k+1}}\in\IZ \\ \frac{sin(x/2^k)}{sin(x/2^{k+1})}\ \ , & \quad andernfalls \end{cases}$
[/mm]
Und dann zeige, dass man auf die "andernfalls"-Variante
verzichten kann, da sich der Term ja dann kürzen lässt
und mit dem ersten identisch wird.
LG Al-Chw.
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