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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Do 27.10.2005 | | Autor: | Ernesto |
Salut . wie kann ich folgende Behauptung beweisem
[mm] (\summe_{k=0}^{n} k)^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k*k*k
komm da auf keinen grünen zweig
Danke
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Hallo Ernesto,
Die Frage wurde schonmal hier gestellt.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Do 27.10.2005 | | Autor: | Didi |
Danke für die Hilfe.
Hab's raus. Allerdings dann doch mit nem anderen Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 27.10.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Dass [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] hattet ihr bestimmt mal in der Vorlesung. Falls nicht, liegt am kleinen Gauss. Kann man auch mit Induktion zeigen.
=> [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] \bruch{n^2 +n}{2}
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
linke Seite: [mm] 1^3 [/mm] =1
rechte Seite: [mm] \bruch{1^2 +1}{2} [/mm] =1
Dies stimmt also.
Induktionbehauptung:
Aussage sei wahr für n. Schließe von n auf n+1
Induktionsschritt:
I = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3+n+1 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2 +n+1}{2} [/mm] =II
I: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3+n+1 [/mm] = [mm] \bruch{n^2 +n}{2} [/mm] +n+1
= [mm] \bruch{n^2}{2} [/mm] +1 1/2 +1
II: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2 +n+1}{2}
[/mm]
= [mm] n^2 [/mm] /2 +2n/n +1/2 +n/2 +1/2 = [mm] n^2 [/mm] /2 +1 1/2 n +1
I=II q.e.d
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