Vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 24.03.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch Vollständige Induktion die folgende Formel
[mm] (1+x)^n>1+nx, [/mm] wobei x aus [mm] \IR [/mm] und [mm] x\ge-1 [/mm] |
Hallo,
Die Induktionsvoraussetzung ist mit n=1 ist gegeben durch,
[mm] 1+x\ge1+1+x
[/mm]
Mein Ansatz ist [mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+nx [mm] =(1+x)^n [/mm] *(1+x) [mm] \ge [/mm] 1+nx
weiter weiß ich nicht, in der Lösung taucht (x+1) auf einmal auf der rechten Seite auf und ich habe keine Ahnung warum.
Danke für die Hilfe
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 24.03.2016 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie durch Vollständige Induktion die folgende
> Formel
> [mm](1+x)^n>1+nx,[/mm] wobei x aus [mm]\IR[/mm] und [mm]x\ge-1[/mm]
> Hallo,
>
> Die Induktionsvoraussetzung ist mit n=1 ist gegeben
> durch,
> [mm]1+x\ge1+1+x[/mm]
Ich nehme an, dass Du Dich verschrieben hast: [mm] $(1+x)^{1}\geq 1+1\cdot [/mm] x$. Übrigens: soll die Behauptung nun mit [mm] $\geq$ [/mm] oder $>$ bewiesen werden?
>
> Mein Ansatz ist [mm](1+x)^{n+1} \ge[/mm] 1+nx [mm]=(1+x)^n[/mm] *(1+x) [mm]\ge[/mm]
> 1+nx
Den Ansatz verstehe ich komplett nicht:
1. Wieso sollte [mm] $(1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+nx$ gelten?
2. Wieso sollte $1+nx [mm] =(1+x)^n*(1+x) [/mm] $ gelten?
3. Wieso sollte [mm] $(1+x)^n*(1+x) \ge [/mm] 1+nx$ gelten?
Führe das bitte aus.
>
> weiter weiß ich nicht, in der Lösung taucht (x+1) auf
> einmal auf der rechten Seite auf und ich habe keine Ahnung
> warum.
>
> Danke für die Hilfe
> Benni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 24.03.2016 | | Autor: | b.reis |
Hallo, ja ich habe mich verschrieben, es müsste *x da stehen.
[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+nx naja hier fehlt das n+1 auf der rechten Seite, deswegen kann es wohl nicht gelten,
1+nx [mm] <=(1+x)^n\cdot{}(1+x), [/mm] das gilt wegen der Potenzgesetze
[mm] (1+x)^{n+1}= (1+x)^n\cdot{}(1+x), [/mm] das = steht für ist gleich die Gleichung nur umgeformt
und in nummer 3 Gilt aus selbigem Grund
Danke für die Antwort
Benni
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Hallo Benni,
das ist alles etwas kraus...
> Hallo, ja ich habe mich verschrieben, es müsste *x da
> stehen.
Ok, kann passieren.
> [mm](1+x)^{n+1} \ge[/mm] 1+nx naja hier fehlt das n+1 auf der
> rechten Seite, deswegen kann es wohl nicht gelten,
Es kann gelten oder auch nicht. Wir wissen nur noch nichts darüber.
> 1+nx [mm]<=(1+x)^n\cdot{}(1+x),[/mm] das gilt wegen der
> Potenzgesetze
Ach ja? Dann müsste es ja für alle n und alle x gelten. Erklär das bitte mal.
Was bestimmt wegen der Potenzgesetze gilt, ist dies:
[mm] \blue{(1+x)^{n+1}=}(1+x)^n*(1+x)
[/mm]
Also genau das, was Du hier schreibst:
> [mm](1+x)^{n+1}= (1+x)^n\cdot{}(1+x),[/mm] das = steht für ist
> gleich die Gleichung nur umgeformt
>
> und in nummer 3 Gilt aus selbigem Grund
Verstehe ich auch nicht. Kannst Du mal nachvollziehbar erklären, was da in Deinem Kopf vorgeht? So kann ich Dir nicht folgen.
Grüße
reverend
> Danke für die Antwort
> Benni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 25.03.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | | 3. Wieso sollte $ [mm] (1+x)^n\cdot{}(1+x) \ge [/mm] 1+nx $ gelten? |
Hey, das kann nicht gelten,
da ich im 2ten Induktionsschritt n=n+1 eingesetzt habe.
Mein Grundproblem ist eigentlich, dass ich keine Ahnung habe wie ich an diese Aufgabenstellung heran gehen soll.
Beweisen Sie durch Vollständige Induktion die folgende Formel
$ [mm] (1+x)^n>1+nx, [/mm] $ wobei x aus $ [mm] \IR [/mm] $ und $ [mm] x\ge-1 [/mm] $
Als erstes mache ich den Induktionsanfang
mit n=1 auf beiden Seiten der Gleichung.
[mm] (1+x)^n\ge1+nx, [/mm] n=1 [mm] --->(1+x)^1\ge [/mm] 1+1x ----> [mm] 1+x\ge [/mm] 1+x.
Damit ist bewiesen, dass diese Formel für eine natürliche Zahl, in diesem Fall die 1, gilt.
Jetzt muss ich noch beweisen, dass diese Formel für alle natürlichen Zahlen gilt.
Vorbedingung
n=n+1 //oder wie auch immer man das nennt.
$ [mm] (1+x)^n\ge1+nx, [/mm] $
nach dem Einsetzen von n+1 für alle n in der Gleichung
[mm] \mapsto (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x
[/mm]
1, Möglichkeit für mich, etwas an dem Ausdrück zu verändern ist
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden
[mm] \mapsto [/mm] $ [mm] =(1+x)^n [/mm] $ *(1+x) $ [mm] \ge [/mm] $ 1+(n+1)x
Weiter weiß ich nicht und hab auch keine Ahnung.
Danke
Benni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 25.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 3. Wieso sollte [mm](1+x)^n\cdot{}(1+x) \ge 1+nx[/mm] gelten?
> Hey, das kann nicht gelten,
> da ich im 2ten Induktionsschritt n=n+1 eingesetzt habe.
>
Das ist leider sehr unglücklich formuliert, auch wenn du das richtige meinst
> Mein Grundproblem ist eigentlich, dass ich keine Ahnung
> habe wie ich an diese Aufgabenstellung heran gehen soll.
>
> Beweisen Sie durch Vollständige Induktion die folgende
> Formel
>
> [mm](1+x)^n>1+nx,[/mm] wobei x aus [mm]\IR[/mm] und [mm]x\ge-1[/mm]
>
> Als erstes mache ich den Induktionsanfang
> mit n=1 auf beiden Seiten der Gleichung.
>
> [mm](1+x)^n\ge1+nx,[/mm] n=1 [mm]--->(1+x)^1\ge[/mm] 1+1x ----> [mm]1+x\ge[/mm] 1+x.
>
> Damit ist bewiesen, dass diese Formel für eine natürliche
> Zahl, in diesem Fall die 1, gilt.
Das ist dann der Induktionsanfang.
>
> Jetzt muss ich noch beweisen, dass diese Formel für alle
> natürlichen Zahlen gilt.
>
> Vorbedingung
>
> n=n+1 //oder wie auch immer man das nennt.
>
> [mm](1+x)^n\ge1+nx,[/mm]
Und hier wird es extrem schwammig.
Deine Induktionsbehauptung/Voraussetzung lautet
[mm] (1+x)^{n}>1+nx [/mm] wobei [mm] \{x\in\IR|x\ge-1\}
[/mm]
>
> nach dem Einsetzen von n+1 für alle n in der Gleichung
>
> [mm]\mapsto (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x[/mm]
Das passiert so nicht. Der Induktionsschritt lautet, dass unter der oben genannten Induktionsvoraussetzung dann auch gilt
[mm] (1+x)^{n+1}>1+(n+1)x [/mm] wobei [mm] \{x\in\IR|x\ge-1\}
[/mm]
Im Iduktionsschritt beginne sinnvollerweise mit einer Ungleichungskette.
[mm] (1+x)^{n+1}
[/mm]
Potenzgesetz
[mm] =(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{1}
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung
[mm] >(1+nx)\cdot(1+x)
[/mm]
Ausmultiplizieren
[mm] $=1+x+nx+nx^{2}$
[/mm]
Da nx²>0 ist, wird die Summe kleiner, wenn du diesen Summanden weglässt
$>1+nx+x$
Passend zusammenfassen/ausklammern
[mm] $=1+(n+1)\cdot [/mm] x$
>
> 1, Möglichkeit für mich, etwas an dem Ausdrück zu
> verändern ist
>
> Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen
> mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre
> Exponenten addiert werden
>
> [mm]\mapsto[/mm] [mm]=(1+x)^n[/mm] *(1+x) [mm]\ge[/mm] 1+(n+1)x
>
> Weiter weiß ich nicht und hab auch keine Ahnung.
>
>
> Danke
>
> Benni
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Fr 25.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius!
> Deine Induktionsbehauptung/Voraussetzung lautet
> [mm](1+x)^{n}>1+nx[/mm] wobei [mm]\{x\in\IR|x\ge-1\}[/mm]
Es soll sicherlich [mm] $\ge$ [/mm] statt $>$ heißen, denn sonst stimmt die Behauptung im Allgemeinen nicht (man betrachte etwa $x=0$).
Was soll "wobei M" mit [mm] $M:=\{x\in\IR|x\ge-1\}$ [/mm] bedeuten?
Meinst du vielleicht Folgendes: "Die Formel [mm] $(1+x)^n\ge [/mm] 1+nx$ sei für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $x\ge-1$ [/mm] richtig."?
Grundsätzlich haben wir zwei Möglichkeiten bei dieser Aufgabe (die hier letzlich auf das Gleiche hinauslaufen):
1. Wir betrachten eine feste reelle Zahl [mm] $x\ge-1$ [/mm] und beweisen per Induktion, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Ungleichung aus der Aufgabenstellung für unsere feste Zahl x gilt.
2. Wir beweisen per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: Die Ungleichung aus der Aufgabenstellung gilt für alle reellen Zahlen [mm] $x\ge-1$.
[/mm]
> Im Iduktionsschritt beginne sinnvollerweise mit einer
> Ungleichungskette.
>
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm]
> Potenzgesetz
> [mm]=(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{1}[/mm]
> Nach Induktionsvoraussetzung
> [mm]>(1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
> Ausmultiplizieren
> [mm]=1+x+nx+nx^{2}[/mm]
> Da nx²>0 ist, wird die Summe kleiner, wenn du diesen
> Summanden weglässt
> [mm]>1+nx+x[/mm]
> Passend zusammenfassen/ausklammern
> [mm]=1+(n+1)\cdot x[/mm]
Alle $>$ sind durch [mm] $\ge$ [/mm] zu ersetzen.
Bei der ersten Ungleichung in der Kette (Anwendung der Induktionsvoraussetzung) geht [mm] $x\ge-1$ [/mm] ein.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 25.03.2016 | | Autor: | b.reis |
Im Iduktionsschritt beginne sinnvollerweise mit einer Ungleichungskette.
Was ist eine Ungleichungskette und warum brauch ich die Hier ?
$ [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] $
Potenzgesetz
$ [mm] =(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{1} [/mm] $
Nach Induktionsvoraussetzung
$ [mm] >(1+nx)\cdot(1+x) [/mm] $
Ich verstehe, dass der Ausdruck kleiner ist als $ [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] $, aber kann ich hier [mm] (1+nx)\cdot(1+x) [/mm] , (x+1) mit (1+nx) multiplizieren. Die Induktionsvoraussetzung $ [mm] (1+x)^{n}>1+nx [/mm] $ wobei $ [mm] \{x\in\IR|x\ge-1\} [/mm] $ sagt mir doch zu x+1 nichts und warum wurde n nur auf der linken Seite durch n+1 ersetzt ?
Meine Gedanken dazu, ich erhöhe durch $ [mm] >(1+nx)\cdot(1+x) [/mm] $ das n um 1, so wie auf der linken Seite der Gleichung. Aber warum diese (1+x) und wie genau hängt das mit der Induktionsvoraussetzung zusammen ? Ich sehe das sie erfüllt ist, aber nicht wieso einer Erhöhung von n automatisch zu der selben Erhöhung hier [mm] (1+nx)\cdot(1+x) [/mm] führt. Eine Vorstellung um den abstrakten Term zu vereinfachen ist [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] 2^2, 2^2>=c [/mm] und c [mm] =4-->2^2>=4 [/mm] jetzt erhöhe ich n um eins als [mm] 2^3 [/mm] klammere eine 2 aus und habe [mm] 2^2 *2^1 [/mm] >= 4, jetzt muss ich darauf achten, dass die IV eingehalten wird also die >= Bedingung, die ist gegeben wenn ich [mm] 4*2^1 [/mm] rechne und multipliziere alles aus, um am Ende auf die Gleichheit zwischen $ [mm] \mapsto (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x [/mm] $ zu kommen ???
Ausmultiplizieren
$ [mm] =1+x+nx+nx^{2} [/mm] $
Da nx²>0 ist, wird die Summe kleiner, wenn du diesen Summanden weglässt
$ >1+nx+x $
Wieso kann ich die Summe, nx²>0, einfach weglassen ? Ich verstehe dass das die Ungleichung nicht beeinflusst, aber wie komm ich darauf einfach irgendwas wegzulassen damit dann der Term passt. Also wenn $ [mm] =1+x+nx+nx^{2} [/mm] $ <..., dann ist auch 1+x+nx<..., Aber umso wichtiger ist der vorherige Schritt. Warum wähle ich x+1 um damit die rechte Seite der Gleichung zu multiplizieren.
Passend zusammenfassen/ausklammern
$ [mm] =1+(n+1)\cdot [/mm] x $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Fr 25.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Im Iduktionsschritt beginne sinnvollerweise mit einer
> Ungleichungskette.
>
> Was ist eine Ungleichungskette und warum brauch ich die
> [color=green]Hier ?[/color]
Eine Kette der Form
[mm] A=\ldots\ge\ldots=\ldots=B
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass [mm] $A\ge [/mm] B$
>
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm]
> Potenzgesetz
> [mm]=(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{1}[/mm]
> Nach Induktionsvoraussetzung
> [mm]>(1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
>
> Ich verstehe, dass der Ausdruck kleiner ist als [mm](1+x)^{n+1} [/mm],
Nein, du weisst nur, dass [mm] (1+x)^{n}\ge1+nx
[/mm]
Da ich den anderen Faktor nicht beachte, ist dann auch
[mm] (1+x)^{n}\cdot(1+x)\ge(1+nx)\cdot(1+x)
[/mm]
> aber kann ich hier [mm](1+nx)\cdot(1+x)[/mm] , (x+1) mit (1+nx)
> [color=green]multiplizieren. Die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^{n}>1+nx[/mm] [/color]
> wobei [mm]\{x\in\IR|x\ge-1\}[/mm] sagt mir doch zu x+1 nichts und
> [color=green]warum wurde n nur auf der linken Seite durch n+1 ersetzt ?[/color]
Weil nich nur die Ind.Voraussetzung auf den Term anwende
>
> [color=green]Meine Gedanken dazu, ich erhöhe durch [mm]>(1+nx)\cdot(1+x)[/mm] [/color]
> das n um 1, so wie auf der linken Seite der Gleichung. Aber
> [color=green]warum diese (1+x) und wie genau hängt das mit der [/color]
> Induktionsvoraussetzung zusammen ? Ich sehe das sie
> [color=green]erfüllt ist, aber nicht wieso einer Erhöhung von n [/color]
> automatisch zu der selben Erhöhung hier [mm](1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
> [color=green]führt. Eine Vorstellung um den abstrakten Term zu [/color]
> vereinfachen ist [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]2^2, 2^2>=c[/mm] und c [mm]=4-->2^2>=4[/mm]
> [color=green]jetzt erhöhe ich n um eins als [mm]2^3[/mm] klammere eine 2 aus und [/color]
> habe [mm]2^2 *2^1[/mm] >= 4, jetzt muss ich darauf achten, dass die
> [color=green]IV eingehalten wird also die >= Bedingung, die ist gegeben [/color]
> wenn ich [mm]4*2^1[/mm] rechne und multipliziere alles aus, um am
> [color=green]Ende auf die Gleichheit zwischen [mm]\mapsto (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x[/mm] [/color]
> zu kommen ???
Du nutzt die Ind.-Voraussetzung nur einmal.
>
>
> Ausmultiplizieren
> [mm]=1+x+nx+nx^{2}[/mm]
> Da nx²>0 ist, wird die Summe kleiner, wenn du diesen
> Summanden weglässt
> [mm]>1+nx+x[/mm]
>
> Wieso kann ich die Summe, nx²>0, einfach weglassen ? Ich
> [color=green]verstehe dass das die Ungleichung nicht beeinflusst, aber [/color]
> wie komm ich darauf einfach irgendwas wegzulassen damit
> [color=green]dann der Term passt. Also wenn [mm]=1+x+nx+nx^{2}[/mm] <..., dann [/color]
> ist auch 1+x+nx<..., Aber umso wichtiger ist der vorherige
> [color=green]Schritt. Warum wähle ich x+1 um damit die rechte Seite der [/color]
> Gleichung zu multiplizieren.
>
Du musst das Ziel 1+n+nx=1+(n+1)x vor Augen haben. Und da ist nur der Summand nx² zuviel in der Summe
> Passend zusammenfassen/ausklammern
> [mm]=1+(n+1)\cdot x[/mm]
Nochmal, zur Verdeutlichung.
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}\cdot(1+x)\ge(1+nx)\cdot(1+x)=1+x+nx+nx^{2}\ge1+x+nx=1+(n+1)x
[/mm]
Damit hast du dann gezeigt, dass [mm] (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x [/mm] und genau das war ja verlangt.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 25.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Im Iduktionsschritt beginne sinnvollerweise mit einer
> Ungleichungskette.
>
> Was ist eine Ungleichungskette und warum brauch ich die
> Hier ?
1. Ich hole etwas aus und erkläre zunächst, was man unter einer Gleichungskette versteht:
Angenommen, wir wollen von zwei Zahlen $A$ und $B$ zeigen, dass sie gleich sind. Angenommen, wir haben eine weitere Zahl $C$ und wissen sowohl [mm] $\green{A=C}$ [/mm] als auch [mm] $\green{C=B}$. [/mm] Dann können wir schlussfolgern, dass in der Tat [mm] $\green{A=B}$ [/mm] gilt.
Kurz notieren könnte man diesen Schluss wie folgt mit einer Gleichungskette:
Es gilt [mm] $\green{A=C=B}$.
[/mm]
Gemeint ist damit genau obige Argumentation: Wir wissen schon, dass A=C und A=B gelten. Also muss auch A=B gelten.
Beispiel: Du willst 5*(6-2)=20 zeigen ($A=5*(6-2)$, $B=20$).
Dazu überlegst du zunächst 6-2=4 und somit auch 5*(6-2)=5*4 ($C=5*4$). Dann überlegst du 5*4=20. Aus 5*(6-2)=5*4 und 5*4=20 lässt sich folgern, dass 5*(6-2)=20 gelten muss.
Kurz als Gleichungskette notiert:
Es gilt 5*(6-2)=5*4=20.
Bis jetzt habe ich nur Gleichungsketten mit zwei Gleichheitszeichen betrachtet. Analog kann man auch längere Gleichungsketten nutzen: Sind z.B. $A,B,C,D,E$ Zahlen und wollen wir A=B zeigen und wissen wir schon A=C und C=D und D=E und E=B, so könnten wir notieren:
Es gilt A=C=D=E=B.
Gemeint ist also: Wir wissen schon A=C, C=D, D=E und E=B, also (!) muss auch wie gewünscht A=B gelten.
2. Eine UNgleichungskette funktioniert ähnlich: Angenommen, wir wollen von zwei Zahlen A und B zeigen, dass [mm] $\blue{A\ge B}$ [/mm] gilt.
Dann genügt es, eine Zahl C mit [mm] $A\ge [/mm] C$ und [mm] $C\ge [/mm] B$ zu finden. Angenommen, wir haben eine solche Zahl C gefunden. Dann muss zwangsläufig auch [mm] $\green{A\ge B}$ [/mm] gelten.
Kurz notiert:
Es gilt [mm] $\green{A\ge C\ge B}$.
[/mm]
Gemeint ist: Wir wissen schon [mm] $\green{A\ge C}$ [/mm] und [mm] $\green{C\ge B}$ [/mm] und schlussfolgern auf [mm] $\green{A\ge B}$.
[/mm]
Eine zusätzliche Besonderheit bei Ungleichungsketten: Anstelle von [mm] $\ge$ [/mm] kann auch mal $>$ (oder auch: $=$) stehen: Sei etwa wieder [mm] $\blue{A\ge B}$ [/mm] zu zeigen. Das kann unter Umständen durch eine Ungleichungskette der Art
(*) [mm] $A>C=D\ge [/mm] B$
geschehen. Gemeint ist in diesem Fall: Wir wissen schon A>C, C=D und [mm] $\green{D\ge B}$. [/mm] Insbesondere wissen wir [mm] $\green{A\ge C}$, $\green{C\ge D}$ [/mm] und [mm] $\green{D\ge B}$. [/mm] Wir können also auch aus obiger Ungleichungskette (*) auf [mm] $\green{A\ge B}$ [/mm] schließen.
3. Ungleichungsketten sind genauso wie Gleichungsketten oft sehr hilfreich, wenn (Un-)Gleichungen zu zeigen sind. Man muss nicht gleich die volle (Un-)Gleichung zeigen, sondern kann mit Zwischenschritten arbeiten. Die Notation der Zwischenschritte mittels einer (Un-)Gleichungskette ist eine sehr übersichtliche.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 25.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm]
> Potenzgesetz
> [mm]=(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{1}[/mm]
> Nach Induktionsvoraussetzung
> [mm]>(1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
Zur Sicherheit: Gemeint ist hier: Wir wissen schon
[mm] $\green{(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}\cdot(1+x)>(1+nx)\cdot(1+x)}$,
[/mm]
d.h. wir wissen SOWOHL
i) [mm] $\green{(1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)}$,
[/mm]
ALS AUCH
ii) [mm] $\green{(1+x)^n*(1+x)\ge (1+nx)*(1+x)}$.
[/mm]
Warum wissen wir i) und ii)?
Die Gleichheit i) erhalten wir als Folgerung aus einem Potenzgesetz.
Die Ungleichung ii) können wir wie folgt begründen:
Wir nehmen schon gemäß Induktionsvoraussetzung an, dass [mm] $\green{(1+x)^n\ge 1+nx}$ [/mm] gilt.
Also muss auch z.B. [mm] $\green{(1+x)^n*5\ge (1+nx)*5}$ [/mm] gelten.
Wie man in der Schule hoffentlich gelernt hat (?), funktioniert das mit jeder NICHTNEGATIVEN reellen Zahl a anstelle der Zahl 5.
Insbesondere für $a:=(1+x)$ (und diese Zahl ist tatsächlich nichtnegativ wegen [mm] $x\ge-1$) [/mm] erhalten wir wie gewünscht [mm] $\green{(1+x)^n*(1+x)}\ge(1+nx)*(1+x)$, [/mm] also tatsächlich die Gültigkeit von ii).
> Ich verstehe, dass der Ausdruck kleiner ist als [mm](1+x)^{n+1} [/mm],
Das bezweifle ich. Ich sehe das jedenfalls nicht so ohne Weiteres.
> aber kann ich hier [mm](1+nx)\cdot(1+x)[/mm] , (x+1) mit (1+nx)
> multiplizieren.
Hilfsweise irgendwelche weiteren Zahlen zu betrachten, ist ja nicht verboten. Wichtig ist nur, dass man begründet Aussagen über sie trifft.
> Die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^{n}>1+nx[/mm]
> wobei [mm]\{x\in\IR|x\ge-1\}[/mm] sagt mir doch zu x+1 nichts und
Ja. Aber sie sagt [mm] $\green{(1+x)^{n}\ge 1+nx}$ [/mm] und damit [mm] $\green{(1+x)^{n}*a\ge(1+nx)*a}$ [/mm] für alle nichtnegativen reellen Zahlen a aus. Insbesondere gilt dies für $a:=(x+1)$.
> warum wurde n nur auf der linken Seite durch n+1 ersetzt ?
Bei Ungleichung ii) tritt nirgendwo n+1 auf.
> Meine Gedanken dazu, ich erhöhe durch [mm]>(1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
> das n um 1, so wie auf der linken Seite der Gleichung.
Es wird überhaupt kein n verändert.
Für die Dauer unseres Induktionsschrittes bezeichnet n eine ("beliebige, aber ") feste Zahl.
Wir nehmen an (Induktionsvoraussetzung), dass wir (für diese feste Zahl n) schon [mm] $\green{(1+x)^n\ge 1+nx}$ [/mm] wissen.
Wir wollen zeigen, dass (für unsere feste Zahl n) dann auch [mm] $\blue{(1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x}$ [/mm] gelten muss.
Wir wollen also eine Ungleichungskette der Art
[mm] $(1+x)^{n+1}\ge\ldots\ge\ldots\ge\ldots\ge [/mm] 1+(n+1)x$
aufstellen.
> Aber
> warum diese (1+x) und wie genau hängt das mit der
> Induktionsvoraussetzung zusammen ?
Einen direkten Zusammenhang zwischen Induktionsvoraussetzung und (1+x) sehe ich nicht.
Aber nachdem unsere geplante Ungleichungskette der Form
[mm] $(1+x)^{n+1}\ge\ldots\ge\ldots\ge\ldots\ge [/mm] 1+(n+1)x$
mit
[mm] $\green{(1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)}$
[/mm]
begonnen wurde, ist es für einen geübten Mathematiker naheliegend, [mm] $(1+x)^n*(1+x)$ [/mm] zu betrachten und zu versuchen, diesen Term "nach unten abzuschätzen", d.h. eine reelle Zahl b zu finden mit
[mm] $(1+x)^n*(1+x)\ge [/mm] b$.
Gemäß Induktionsvoraussetzung leistet $b:=(1+nx)*(1+x)$ das Gewünschte.
> Ich sehe das sie
> erfüllt ist, aber nicht wieso einer Erhöhung von n
> automatisch zu der selben Erhöhung hier [mm](1+nx)\cdot(1+x)[/mm]
> führt.
Wir verändern n im Laufe unseres Induktionsschrittes nicht.
> Eine Vorstellung um den abstrakten Term zu
> vereinfachen ist [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]2^2, 2^2>=c[/mm] und c [mm]=4-->2^2>=4[/mm]
> jetzt erhöhe ich n um eins als [mm]2^3[/mm] klammere eine 2 aus und
> habe [mm]2^2 *2^1[/mm] >= 4, jetzt muss ich darauf achten, dass die
> [green]IV eingehalten wird
Nein, du musst nicht darauf achten, die Induktionsvoraussetzung einzuhalten, sondern du darfst die Induktionsvoraussetzung für den Induktionsschritt voraussetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 25.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Benni!
> 3. Wieso sollte [mm](1+x)^n\cdot{}(1+x) \ge 1+nx[/mm] gelten?
> Hey, das kann nicht gelten,
Je nach Wahl von n und x gilt diese Ungleichung oder auch nicht. Das hilft uns aber leider nicht weiter.
Ich glaube, ein Grundproblem ist, dass du nicht sauber unterscheidest, was wir schon wissen/annehmen und was wir erst noch zeigen wollen.
> Als erstes mache ich den Induktionsanfang
> mit n=1 auf beiden Seiten der Gleichung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zu zeigen ist also:
> [mm]\blue{(1+x)^n\ge1+nx,}[/mm]
gilt für
> n=1
Zu zeigen ist also, dass die Ungleichung
> --->[mm]\blue{(1+x)^1\ge}[/mm] 1+1x
zutrifft.
Wir müssen also
----> [mm]\blue{1+x\ge}[/mm] 1+x.
verifizieren, was aber offensichtlich zutrifft.
> Damit ist bewiesen, dass diese Formel für eine natürliche
> Zahl, in diesem Fall die 1, gilt.
Alternativ könnte man den Induktionsanfang folgendermaßen notieren:
Für [mm] $\green{n=1}$ [/mm] gilt
[mm] $\green{(1+x)^n=(1+x)^1=1+x=1+1*x=1+nx}$,
[/mm]
also insbesondere wie gewünscht
[mm] $\green{(1+x)^n\ge 1+nx}$.
[/mm]
Hier habe ich also "vorwärts argumentiert", also in jedem Schritt nur (Un-)Gleichungen notiert, die (im Falle n=1) schon klar/bewiesen/vorausgesetzt sind. Das ist wohl die häufigste Art, Beweise zu notieren.
Du hast hingegen "rückwärts argumentiert", also mit der zu zeigenden (und zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesenen!) Ungleichung begonnen und sie schrittweise auf einfacher zu zeigende (immer noch unbewiesene!) Aussagen zurückgeführt, bis du schließlich eine trivialerweise zutreffende Aussage dastehen hattest.
Da diese Vorgehensweise nicht "Standard" ist, musst du bei ihr auf alle Fälle explizit schreiben, dass du zu zeigende Aussagen anstelle schon bewiesener Aussagen notierst.
Nun zum Induktionsschritt:
> Vorbedingung
Was meinst du mit "Vorbedingung"?
> n=n+1 //oder wie auch immer man das nennt.
"n=n+1" irritiert wahrscheinlich fast jeden Mathematiker, schließlich ist n und n+1 sicherlich nicht das gleiche.
Du meinst sicherlich: Du möchtest aus der angenommenen Gültigkeit der Formel für eine natürliche Zahl [mm] $\green{n}$ [/mm] folgern, dass sie auch für die natürliche Zahl [mm] $\blue{n+1}$ [/mm] anstelle von [mm] $\blue{n}$ [/mm] gilt.
Induktionsvoraussetzung:
> [mm]\green{(1+x)^n\ge1+nx,}[/mm]
Die Gültigkeit dieser Ungleichung (für eine feste Zahl n) setzen wir nun voraus.
Wir wollen nun zeigen, dass dann auch folgende Ungleichung zutrifft:
> nach dem Einsetzen von n+1 für alle n in der Gleichung
>
> [mm]\blue{\mapsto (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x}[/mm]
Wie sich das nun "vorwärts argumentiert" zeigen lässt, hat dir Marius ja mit seiner Ungleichungskette vorgeführt.
Du versuchst nun wieder, "rückwärts" zu argumentieren:
> 1, Möglichkeit für mich, etwas an dem Ausdrück zu
> verändern ist
>
> Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen
> mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre
> Exponenten addiert werden
Also genügt es zu zeigen:
> [mm]\mapsto[/mm] [mm]=\blue{(1+x)^n}[/mm] *(1+x) [mm]\blue{\ge}[/mm] 1+(n+1)x
(Lass das $=$ zu Beginn weg. Das Zeichen $=$ macht nur Sinn, wenn links und rechts davon jeweils ein Objekt genannt wird. Hier fehlt jedoch links vom Zeichen $=$ die Angabe eines Objektes.)
Nun ist es an der Zeit, unsere Induktionsvoraussetzung ("vorwärts") ins Spiel zu bringen:
Wir setzen ja bereits voraus, dass [mm] $\green{(1+x)^n\ge 1+nx}$ [/mm] gilt.
Indem wir diese Ungleichung mit der (wegen [mm] $x\ge-1$ [/mm] nichtnegativen) Zahl $(1+x)$ malnehmen, erhalten wir die Gültigkeit von
[mm] $\green{(1+x)^n*(1+x)\ge (1+nx)*(1+x)}$.
[/mm]
Nun lassen sich beide Seiten dieser Aussage vereinfachen.
Ich hoffe, anhand meiner Färbung in grüne und blaue Teile ist die Unterscheidung zwischen schon als wahr erkannter/angenommener Aussagen und zu zeigender Aussagen deutlich geworden.
Während die "grünen" Aussagen in Beweisen auch unkommentiert auftreten können, sollten die "blauen" Aussagen stets gesondert als solche erkennbar gemacht werden ("Wir wollen zeigen, dass...").
Viele Grüße
Tobias
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