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| Aufgabe | Seien [mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] . . . , [mm] a_{n} [/mm] positive relle Zahlen. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion dass
[mm] (a_{1} [/mm] + · · · + [mm] a_{n})*(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] + . . . + [mm] \bruch{1}{a_{n}}) \ge n^{2} [/mm] |
Hallo allerseits!
Ich habe diese Angabe gestellt bekommen und soll beweisen, dass die Aussage richtig ist, allerdings schaffe ich es nicht den Induktionsschritt in eine Form zu bringen dass ich etwas beweisen kann.
Ich bin auf jeden Fall über jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 22.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]a_{1}, a_{2},[/mm] . . . , [mm]a_{n}[/mm] positive relle Zahlen.
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion dass
> [mm](a_{1}[/mm] + · · · + [mm]a_{n})*(\bruch{1}{a_{1}}[/mm] + . . . +
> [mm]\bruch{1}{a_{n}}) \ge n^{2}[/mm]
> Hallo allerseits!
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> Ich habe diese Angabe gestellt bekommen und soll beweisen,
> dass die Aussage richtig ist, allerdings schaffe ich es
> nicht den Induktionsschritt in eine Form zu bringen dass
> ich etwas beweisen kann.
>
> Ich bin auf jeden Fall über jede Hilfe dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich gehe davon aus, dass der Induktionsanfang erledigt ist.
Induktionsvor.: sei $n [mm] \in\IN$ [/mm] und
$ [mm] (a_{1} [/mm] $ + · · · + $ [mm] a_{n})\cdot{}(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] $ + . . . + $ [mm] \bruch{1}{a_{n}}) \ge n^{2} [/mm] $
Induktionschritt:
mit der Induktionsvor. bekommen wir
$ [mm] (a_{1}+...+ a_{n}+a_{n+1})\cdot{}(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] + . . . + [mm] \bruch{1}{a_{n}}+\bruch{1}{a_{n+1}}) \ge n^2+1+\bruch{a_1+...+a_n}{a_{n+1}}+a_{n+1}(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] + . . . + [mm] \bruch{1}{a_{n}}).$
[/mm]
Wenn wir nun zeigen können, dass
[mm] $\bruch{a_1+...+a_n}{a_{n+1}}+a_{n+1}(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] + . . . + [mm] \bruch{1}{a_{n}}) \ge [/mm] 2n$
ist, so sind wir fertig.
Können wir das zeigen ? Ja, können wir. Man muss sich manche Sachen nur geschickt hinschreiben:
Es ist
[mm] $\bruch{a_1+...+a_n}{a_{n+1}}+a_{n+1}(\bruch{1}{a_{1}} [/mm] + . . . + [mm] \bruch{1}{a_{n}})=\sum_{j=1}^n(\bruch{a_j}{a_{n+1}}+\bruch{a_{n+1}}{a_j}).$
[/mm]
Nun betrachten wir den Summanden [mm] $\bruch{a_j}{a_{n+1}}+\bruch{a_{n+1}}{a_j}$. [/mm] Wenn der [mm] \ge [/mm] 2 wäre, so wären wir fertig.
Ist er [mm] \ge [/mm] 2 ? Ja, das ist er, denn nun kommt uns Herr Binomi zur Hilfe:
Für positive $x,y$ ist
[mm] $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \ge [/mm] 2 [mm] \gdw \frac{x^2+y^2}{xy} \ge [/mm] 2 [mm] \gdw x^2+y^2 \ge [/mm] 2xy [mm] \gdw x^2-2xy+y^2 \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (x-y)^2 \ge [/mm] 0$.
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