www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: binomische Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:51 Mo 30.01.2006
Autor: picca

Aufgabe
Beweise durch vollständige Induktion, dass die binomische Formel für alle n gültig ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hab mir bereits diesen Thread durchgelesen:
https://matheraum.de/read?t=112452&v=t
Soweit ist mir das generelle Vorgehen auch klar, nur habe ich ab dem Teil Probleme:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $

So verstehe ich das: Beim rechten Teil setze ich n+1 für k ein, dann erhalte ich als Summand 0. Dh also, ich kann ihn gleich weglassen und nur von k=0 bis n aufsummieren.
Beim linken Teil starte ich mit k=0 und erhalte als Summand auch 0, dh ich kann hier gleich von k=1 bis n+1 aufsummieren.
Den Index muss ich wohl nur bei der linken Summe verschieben, da ich das n+1 wegbekommen will. Also verschiebe ich den Index, und summiere also von k=0 bis n. Da ich k um 1 erniedrigt habe, muss ich das in der Summe selbst ausgleichen, deshalb schreibe ich nun k+1 statt k.
Jetzt das erste Problem: Ich verändere doch auch das n, wieso muss ich also das n innerhalb der Summe nicht auch angleichen?
Das Herausziehen eines a aus der rechten Summe ist kein Problem, ich ziehe es vor und kann somit statt [mm] a^{n+1-k} [/mm] nun [mm] a^{n-k} [/mm] schreiben.
Da ich in der linken Seite k durch k+1 ersetzt habe, steht dort nun [mm] b^{k+1} [/mm]
Ich ziehe ein b vor die Summe und erhalte wieder [mm] b^k [/mm]
Wie wird aber aus dem [mm] a^{n+1-k} [/mm] ein [mm]a^{n-k}[/mm]  Liegt es daran, dass ich auch hier k durch k+1 ersetze, und sich die 1 somit wegsubtrahiert?
Vielen Dank.



        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Mo 30.01.2006
Autor: Julius

Hallo picca!

>  Soweit ist mir das generelle Vorgehen auch klar, nur habe
> ich ab dem Teil Probleme:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k + \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k[/mm]
>  
> So verstehe ich das: Beim rechten Teil setze ich n+1 für k
> ein, dann erhalte ich als Summand 0. Dh also, ich kann ihn
> gleich weglassen und nur von k=0 bis n aufsummieren.

[ok]

>  Beim linken Teil starte ich mit k=0 und erhalte als
> Summand auch 0, dh ich kann hier gleich von k=1 bis n+1
> aufsummieren.

[ok]

> Den Index muss ich wohl nur bei der linken Summe
> verschieben, da ich das n+1 wegbekommen will. Also
> verschiebe ich den Index, und summiere also von k=0 bis n.
> Da ich k um 1 erniedrigt habe, muss ich das in der Summe
> selbst ausgleichen, deshalb schreibe ich nun k+1 statt k.

[ok]

> Jetzt das erste Problem: Ich verändere doch auch das n,
> wieso muss ich also das n innerhalb der Summe nicht auch
> angleichen?

Nein, du "änderst" nur das $k$. Mache dir das Vorgehen mal an einem einfachen Beispiel klar:

[mm] $\sum\limits_{k=1}^n k^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] \ldots n^2 [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)^2$. [/mm]

> Das Herausziehen eines a aus der rechten Summe ist kein
> Problem, ich ziehe es vor und kann somit statt [mm]a^{n+1-k}[/mm]
> nun [mm]a^{n-k}[/mm] schreiben.

[ok]

>  Da ich in der linken Seite k durch k+1 ersetzt habe, steht
> dort nun [mm]b^{k+1}[/mm]

[ok]

>  Ich ziehe ein b vor die Summe und erhalte wieder [mm]b^k[/mm]
>  Wie wird aber aus dem [mm]a^{n+1-k}[/mm] ein [mm]a^{n-k}[/mm]  Liegt es
> daran, dass ich auch hier k durch k+1 ersetze, und sich die
> 1 somit wegsubtrahiert?

Genau daran liegt es. :-)

Eigentlich hast du alles verstanden... :-)

Liebe Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Mo 30.01.2006
Autor: picca

Vielen Dank Julius :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]