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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 26.10.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] im angegebenen Bereich gilt:
a) 8 teilt [mm] 9^n-1 [/mm] ; n [mm] \in \IN* [/mm] |
Ich habe so angefangen:
Behauptung:
8 teilt [mm] 9^n-1 [/mm] gilt für alle n [mm] \in \IN*
[/mm]
(I) Indultionsanfang:
n=1: 8 teilt [mm] 9^1-1=8 [/mm] --> stimmt
(II) Induktionsschritt:
Angenommen 8 teilt [mm] 9^n-1 [/mm] gilt für eine Zahl k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] k\ge1, [/mm]
dann ist 8 teilt [mm] 9^k-1.
[/mm]
Ab hier komme ich jetzt nicht mehr weiter.
Könnte mir vielleicht jemand erklären, was ich machen muss, also was ich rechnen/ einsetzen muss?
Danke schonmal in Vorraus 
Lg Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 26.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hallo Nina,
den Induktionsanfang (IA) hast du richtig gemacht!
bei dem Induktionsschritt machst du 2 Sachen:
1) Voraussetzung - das ist die Aussage an sich - du setzt sie einfach als richig voraus und brauchst sie also nicht zu beweisen! Bei dir ist die Vor. also: 8 teilt [mm] 9^{n}-1 [/mm]
2) Behauptung - du sagst darin: Wenn die Aussage für n=1 , n=n und n=n+1 stimmt, dann stimmt sie immer (heißt nämlich dass sie für alle Nachfolger von n und somit immer stimmt)
Also: 8 teilt [mm] 9^{n+1}-1
[/mm]
3) Der Beweis selbst ist dann, dass du die Behauptung mittels der Voraussetzung zeigst:
[mm] 9^{n+1}-1 [/mm] = [mm] (9^{n}*9^{1})-1 [/mm] = [mm] (9^{n}-1)*(9^{1}-1)
[/mm]
Der erste Teil davon ist wieder original deine Behauptung (teilt also 8) und der zweite Teil ist analog zum IA (teilt also 8)!
Fertig!
Alles verstanden?
Gruß, Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 26.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Danke, das Prinzip habe ich glaube ich verstanden.
Nur den letzten Schritt, nämlich von [mm] (9^{n}\cdot{}9^{1})-1 [/mm] zu [mm] (9^{n}-1)\cdot{}(9^{1}-1) [/mm] habe ich rechnerich irgendwie nicht ganz kapiert. Was genau wird hier gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Do 26.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hi,
muss ehrlich sagen, dass ich da nen Fehler gemacht hab, sorry, ich setz mich gleich nochmal ran!
Anne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 26.10.2006 | | Autor: | Nienor |
JETZT!
[mm] (9^{n}*9)-1= 9^{n}*(8+1)-1 [/mm] = [mm] 8*9^{n}+9^{n}-1 [/mm] = [mm] (8*9^{n})+(9^{n}-1)
[/mm]
JETZT ist der erste Teil durch 8 teilbar (wegen dem *8) und der zweite Teil der IA!
Gruß, Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 26.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden.
Eine letzte Frage noch:
Ist der Beweis bei der vollst. Induktion immer, dass man die Behauptung mit der Vorraussetzung zeigt? Also gilt das allgemein und wird IMMER nach diesem Muster gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nina!
Kurze und kanppe Antwort: JA, das ist die Methode der vollständigen Induktion.
Gruß
Loddar
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