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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:12 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Hallo,
ich möchte gerne die Formel
$z(n) = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n$
[/mm]
mit vollständiger Induktion für alle ungeraden $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ beweisen!
Nun erst ein mal die Frage ob dies überhaupt möglich ist, denn ich kenne Induktionsbeweise bisher nur mit der Form "z=n", sodass nur das Funktionieren einer Gleichung durch Induktion bewiesen werden musste. Hier habe ich allerdings nur eine Formel für deren n ich eine ungerade natürliche Zahl einsetze. Das Ergebnis muss dann noch von mir entsprechend interpretiert bzw. weiterverarbeitet werden.
So ist z.B.
$z(3)= [mm] \frac{\sum_{i=1}^{6}a_{i}+\sum_{i=1}^{3}a_{i}}{3}+3=12$
[/mm]
(für mich) richtig. So auch alle folgenden Werte!
Ist es also möglich die Formel mit V.I. beweisen? Wenn ja, könnte mir da jemand etwas weiterhelfen? Als Induktionsschritt müssten wir ja [mm] $n\to [/mm] n+2$ nehmen, da es ja für alle ungeraden n gelten soll.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Mal eine Sache: Zählt die 1 bei dir nicht als ungerade Zahl?
Dann noch weiter: Du hast dort eine Funktion eingesetzt.
VI kenne ich auch nur, wenn dort steht: Summe von irgendwas = irgendein konkreter Term
Bei dir liegt ja nur eine Funktion vor.
Willst du aber dann z.B. sagen, dass die Ergebnisse alle durch eine bestimmte Zahl teilbar seien, dann kann man das über VI beweisen.
Das mit n+2 hört sich so logisch nicht schlecht an, denn ich will das ja nur für jedes "zweite" n beweisen.
Mir ist nur noch nicht ganz klar, was an der Formel richtig sein soll.
Sollen da immer bestimmte Ergebnisse herauskommen, steht das [mm] a_{i} [/mm] für irgendwelche wechselnde Zahlen?!
Erläutere das mal noch ein wenig, was das ganze soll.
Gruß,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Also ich möchte das jetzt eher nicht weiter erklären, was das soll. Klar, für dich wird das z(3)=12 keinen Sinne ergeben, für mich allerdings wie gesagt schon. Das Ganze ist ziemlich kompliziert, weil ich die Werte anschließend noch weiter verarbeite, es würde jetzt mehr verwirren wenn ich das alles hier niederschreiben würde. Ich bitte um Verständnis.
Und nein, es ist eigentlich keine Funktion, auch wenn der Ausdruck z(n) das suggeriert, es ist vielmehr eine einfache Formel für die du eben auch einfach
z = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n
[/mm]
schreiben könntest.
Folgendes habe ich gerade entdeckt: ![[]](/images/popup.gif) http://sites.inka.de/picasso/Metzger/seite6.htm
Hier wird auch "nur" eine Formel durch V.I. bewiesen (Formel von Binet), also scheint es durchaus möglich zu sein...
PS: 1 gilt natürlich auch als ungerade Zahl, wobei ich den Wert für 1 eben nicht brauche, also eigentlich für mich erst ab 3.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, bei dieser Folge hast du aber auch eine "rekursive Definition", d.h. du kannst dann das nächste Glied, also das F(n+2) mithilfe einer Summe von F(n)+F(n+1) ausdrücken, was du bei deinem aber meiner Ansicht nach nicht kannst.
Naja, aber versuch es doch einfach, dort irgendwo etwas per VI zu beweisen, nur dann brauchst du ja noch irgendwo die Sache, wo du den einen Term durch etwas anderes ersetzten kannst (d.h. bei Summen z.B. die Summe auseinanderzuziehen zu [mm] \summe_{i=1}^{n+1}=\summe_{i=1}^{n} [/mm] , wofür du dann schon irgendeinen konkreten Term hast, und dann + den Term, wo du dann für i ein n einsetzte, dahinter schreibst, das dann zusammenfasst usw....
Ich hoffe, du weist, welchen Schritt der VI ich da meine.
Das bezweifel ich, dass das bei deinem Term geht.
Slaín,
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 10.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne Angabe darüber, was die [mm] a_i [/mm] sein sollen, und was z(n) bedeutet, ist das Ganze nicht mal ne mathematische Aussage, kann also sicher nicht bewiesen werden.
Wenn du Aussagen über z(n) und die [mm] a_i [/mm] hast, geht sowas meist mit VI.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:03 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Na gut, dann spezifiziere ich meine Aussage.
z(n) = Gesamtsumme einzelner Terme mit ungerader Variable $ n [mm] \in \mathbb [/mm] N $.
[mm] $a_i$ [/mm] = Sollte eigentlich bekannt sein, ist das Folgeglied des Summenzeichens.
Also in etwa so:
Die Gesamtsumme $z$ dreier Summanden mit der ungeraden Variablen $ n [mm] \in \mathbb [/mm] N $ sei
$ z(n) = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n [/mm] $
Induktionsanfang A(1):
$ z(1)= [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2}a_{i}+\sum_{i=1}^{1}a_{i}}{1}+1=5 [/mm] $
(... hier zeige ich dann, dass die Zahl 5 als Gesamtsumme funktioniert ...)
Induktionsvorraussetzung A(n)
$ z(n) = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n [/mm] $
Induktionsbehauptung A(n+2)
$ z(n+2) = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}a_{i}+\sum_{i=1}^{n+2}a_{i}}{n+2}+n+2 [/mm] $
Die funktioniert bis auf das erste Summenzeichen...
[mm] $\sum_{i=1}^{2n+2}a_{i}$ [/mm] wäre nach Induktionsanfang für 1 ja dann $2*1+2=4$. Die nächste ungerade Zahl wäre aber 3, wobei 2n dann 6 sein müsste.
Induktionsbeweis A(n) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] A(n+2)
...
Was meint ihr?
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> Na gut, dann spezifiziere ich meine Aussage.
>
> z(n) = Gesamtsumme einzelner Terme mit ungerader Variable [mm]n \in \mathbb N [/mm].
> [mm]a_i[/mm] = Sollte eigentlich bekannt sein, ist das Folgeglied
> des Summenzeichens.
>
> Also in etwa so:
>
> Die Gesamtsumme [mm]z[/mm] dreier Summanden mit der ungeraden
> Variablen [mm]n \in \mathbb N[/mm] sei
>
> [mm]z(n) = \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n[/mm]
Hallo,
ich kann noch nicht verstehen, was Du beweisen möchtest.
Möglicherweise bist Du mit dem Gebrauch des Summenzeichens nicht so vertraut?
Schreib Deine Behauptung doch einmal ohne [mm] \summe [/mm] auf.
(Das meine ich z.B. so [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3.)
[/mm]
Vielleicht kann Dich dann jemand verstehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Hallo,
wo liegt das Problem, was ist unverständlich? Ich meine es so wie ich es aufgeschrieben habe. Der Gebrauch des Summenzeichens ist mir durchaus bekannt!
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> Hallo,
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> wo liegt das Problem, was ist unverständlich? Ich meine es
> so wie ich es aufgeschrieben habe. Der Gebrauch des
> Summenzeichens ist mir durchaus bekannt!
Dann solltest Du Deine Folge [mm] a_i [/mm] definieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Also
[mm] $\sum_{i=1}^{2n}a_{i}$
[/mm]
ist z.B. für n=3
[mm] $\sum_{i=1}^{6}a_{i}=1+2+3+4+5+6=21$
[/mm]
[mm] $\sum_{i=1}^{n}a_{i}$
[/mm]
ist für n=3 folglich
[mm] $\sum_{i=1}^{3}a_{i}=1+2+3=6$
[/mm]
Insgesamt ergibt sich laut
$ z(n) = [mm] \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}+n [/mm] $
für z(3) also
[mm] $\bruch{21+6}{3}+3=12$
[/mm]
Meinst Du das?
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Ja, genau das meinte ich!
So kann man beginnen, sich ein Bild zu machen.
Wenn Du z.B. 1+2+3+4+5+6 ais Summe von 1 bis 2n aufschreiben möchtest, hast Du zwei Möglichkeiten:
Entweder so: [mm] \summe_{i=1}^{2n}i [/mm]
oder so: [mm] \summe_{i=1}^{2n}a_i [/mm] mit [mm] a_i:=i.
[/mm]
Es gibt ja auch ganz andere Summen, z.B. [mm] \summe_{i=1}^{2n}sin(\bruch{2\pi}{1})ln(i)
[/mm]
Ich hoffe, Du merkst nun, daß die Frage danach, was Du summieren möchtest, nicht kleinlich ist.
Was nun noch fehlt, ist, daß Du genau sagst, was bei Deiner Summe jeweils herauskommen soll.
Ach! Es fällt mir wie Schuppen von den Augen!!!
Das möchtest Du erst wissen??? Stimmt das? Ein allgemeines Ergebnis in Abhängigkeit von n?
Paß auf:
[mm] \bruch{\summe_{i=1}^{2n}i+\summe_{i=1}^{n}i}{n}+n
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{(2n+1)2n}{2}+\bruch{(n+1)n}{2}}{n}+n
[/mm]
=... (rechnen!)
[mm] =\bruch{7n+3}{2}
[/mm]
War's das? Habe ich Dich jetzt richtig verstanden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Vielen dank, das ist perfekt! (Arrg, die gaußsche Summenformel anstatt den Summen hinschreiben, darauf hätte ich auch kommen sollen...).
Und jetzt kann ich das doch auch endlich mit vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen beweisen!
$ [mm] \bruch{7n+3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{2n}i+\summe_{i=1}^{n}i}{n}+n [/mm] $
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> Und jetzt kann ich das doch auch endlich mit vollständiger
> Induktion für alle natürlichen Zahlen beweisen!
Ja, jetzt hast Du das, was man braucht, bevor man etwas beweist: eine Aussage/Behauptung/Vermutung.
> [mm]\bruch{7n+3}{2} = \bruch{\summe_{i=1}^{2n}i+\summe_{i=1}^{n}i}{n}+n[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Krik |
Also der Induktionsanfang ist ja schnell gemacht, bei der Induktionsbehauptung bin ich mir jetzt nicht ganz sicher. Muss ich für jedes n n+1 einsetzen?
Also
$ [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{2n+1}i+\summe_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1 [/mm] $
Das ist ja dann wiederrum
$ = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{2n}i+(n+1)+\summe_{i=1}^{n}i+(n+1)}{n+1}+n+1 [/mm] $
Und für $ [mm] \bruch{7n+3}{2} [/mm] $ einfach $ [mm] \bruch{7(n+1)+3}{2} [/mm] $ als Induktionsbehauptug?
Beim Induktionsbeweis dann einfach $ = [mm] \bruch{7n+3}{2} [/mm] + (n+1)$ ?
...
$= [mm] \bruch{9n+5}{2}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 10.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit Hilfe von Angela erkannt hast, dass das einfach die"Gaussschen" Summen sind, dann hast du doch ne bewiesene Formel! Wozu dann noch die vollst. Induktion?
(Dazu müsstest du höchstens die Gusssche Summenformel beweisen)
aber wnn, dann ist dein Vorgehen falsch!
> Also der Induktionsanfang ist ja schnell gemacht, bei der
> Induktionsbehauptung bin ich mir jetzt nicht ganz sicher.
> Muss ich für jedes n n+1 einsetzen?
>
> Also
>
> [mm]\bruch{\summe_{i=1}^{2n+1}i+\summe_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1[/mm]
Schon falsch! richtig ist :
[mm]\bruch{\summe_{i=1}^{2n+[red]2[/red]}i+\summe_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1[/mm]
> Das ist ja dann wiederrum
>
> [mm]= \bruch{\summe_{i=1}^{2n}i+(n+1)+\summe_{i=1}^{n}i+(n+1)}{n+1}+n+1[/mm]
>
> Und für [mm]\bruch{7n+3}{2}[/mm] einfach [mm]\bruch{7(n+1)+3}{2}[/mm] als
> Induktionsbehauptug?
Das ja!
>
> Beim Induktionsbeweis dann einfach [mm]= \bruch{7n+3}{2} + (n+1)[/mm]
nein! du musst ja beide Summen bis 2n+2 bzw n+1 und durch (n+1) teilen und n+1 addieren!
und dann zeigen, dass das [mm]\bruch{7(n+1)+3}{2}=\bruch{7n+10}{2}[/mm]
> [mm]= \bruch{9n+5}{2}[/mm]
dies kommt bei nie raus!
Gruss leduart
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